Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)
\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)
\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)
$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$
a+b+c=0
=>a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a
\(a^2+b^2-c^2\)
\(=\left(a+b\right)^2-2ab-c^2=\left(-c\right)^2-2ab-c^2=-2ab\)
\(b^2+c^2-a^2\)
\(=\left(b+c\right)^2-2bc-a^2\)
\(=\left(-a\right)^2-2bc-a^2=-2bc\)
\(c^2+a^2-b^2\)
\(=\left(c+a\right)^2-2ca-b^2\)
\(=\left(-b\right)^2-2ac-b^2=-2ac\)
Ta có: \(H=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
\(=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ac}{-2ac}=-\frac12-\frac12-\frac12=-\frac32\)
\(\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}=\dfrac{ab}{\left(a+b\right)^2-2ab-c^2}+\dfrac{bc}{\left(b+c\right)^2-2bc-a^2}+\dfrac{ca}{\left(a+c\right)^2-2ac-b^2}=\dfrac{ab}{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)-2ab}+\dfrac{bc}{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)-2bc}+\dfrac{ac}{\left(a+b+c\right)\left(a+c-b\right)-2ac}=\dfrac{ab}{-2ab}+\dfrac{bc}{-2bc}+\dfrac{ca}{-2ca}=-\dfrac{1}{2}.3=-\dfrac{3}{2}\)
cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn ab/a+b=bc/b+c=ca/c+a
tính giá trị của biểu thức M=ab+bc+ca/a^2+b^2+c^2
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{a+c}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ac}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\Rightarrow M=1\)
Ta có: \(P=\dfrac{a}{bc}+\dfrac{2b}{ca}+\dfrac{5c}{ab}\)\(=\dfrac{a^2+2b^2+5c^2}{abc}\)
Vì \(a,b,c>0\) và \(a^2+b^2+c^2=6\).
Áp dụng phương pháp bất đẳng thức kết hợp điều kiện, ta sẽ chứng minh:
\(a^2+2b^2+5c^2\geq 2\sqrt6abc\).
Khi đó: \(P=\dfrac{a^2+2b^2+5c^2}{abc}\geq 2\sqrt6\).
Dấu bằng xảy ra khi \(a^2=3,\ b^2=2,\ c^2=1\).
Chứng minh bất đẳng thức:
Đặt \(x=a^2,\ y=b^2,\ z=c^2\). Khi đó \(x+y+z=6\).
Xét biểu thức:
\(Q=\dfrac{x+2y+5z}{\sqrt{xyz}}\).
Theo bất đẳng thức AM-GM, \(Q\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=3,\ y=2,\ z=1\). Khi đó:
\(Q_{\min}=\dfrac{3+2\cdot2+5\cdot1}{\sqrt{3\cdot2\cdot1}}\)
\(=\dfrac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6\).
Suy ra \(P\geq 2\sqrt6\).
Vậy: \(P_{\min}=2\sqrt6\)
Đạt được khi \(a=\sqrt3,\ b=\sqrt2,\ c=1\).