ta có 

\(A=\left|x-8\right|+\left|x+2\right|+\left|x+5\right|+\left|x+7\right|\ge\left|-x+8-x-2+x+5+x+7\right|=18\)

Dấu bằng xảy ra khi \(-5\le x\le-2\)

\(B=\left|x+3\right|+\left|x-5\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x+3-x+5\right|+\left|x-2\right|=8+\left|x-2\right|\ge8\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\)

\(C=\left|x+5\right|-\left|x-2\right|\le\left|x+5+2-x\right|=7\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x\ge2\)

Nguyễn Minh Quang sai dấu câu A rồi

TH1: x<-3

=>x+3<0; x+2<0; 2x-8<0

=>A=-x-3-x-2-2x+8=-4x+3

Vì A=-4x+3 là hàm số nghịch biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<-3 thì x không có giá trị lớn nhất

=>A không có giá trị nhỏ nhất

TH2: -3<=x<-2

=>x+3>=0; x+2<0; 2x-8<0

=>A=x+3-x-2-2x+8=-2x+9

Vì hàm số A=-2x+9 là hàm số nghịch biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi -3<=x<-2 thì x không có giá trị lớn nhất

=>A không có giá trị nhỏ nhất

TH3: -2<=x<4

=>x+3>0; x+2>=0; 2x-8<0

=>A=x+3+x+2-2x+8=13(1)

TH4: x>=4

=>x+3>0; x+2>0; 2x-8>=0

=>A=x+3+x+2+2x-8=4x-3

Vì hàm số A=4x-3 là hàm số đồng biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=4 thì x nhỏ nhất=4

=>\(A=4\cdot4-3=16-3=13\) (2)

Từ (1),(2) suy ra GTNN của A là 13 khi x>=-2

b: \(T=\frac{2x^4-4x^2+8}{x^4+4}\)

=>\(T\left(x^4+4\right)=2x^4-4x^2+8\)

=>\(T\cdot x^4+4T-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4\cdot\left(T-2\right)+4x^2+4T-8=0\) (1)

Đặt \(a=x^4\)

(1) sẽ trở thành: \(a^2\cdot\left(T-2\right)+4\cdot a+4T-8=0\) (2)

\(\Delta=4^2-4\left(T-2\right)\left(4T-8\right)=16-16\left(T-2\right)\cdot\left(T-2\right)\)

\(=16-16\left(T-2\right)^2\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(16-16\left(T-2\right)^2\ge0\)

=>\(16\left(T-2\right)^2\le16\)

=>\(\left(T-2\right)^2\le1\)

=>-1<=T-2<=1

=>1<=T<=3

Để T có giá trị lớn nhất thì T=3

=>\(2x^4-4x^2+8=3x^4+12\)

=>\(3x^4+12-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4+4x^2+4=0\)

=>\(\left(x^2+2\right)^2=0\) (vô lý)

=>T không có giá trị lớn nhất

a: \(S=\frac{5x^4+4x^2+10}{x^4+2}=5+\frac{4x^2}{x^4+2}\)

Đặt \(A=\frac{4x^2}{x^4+2}\)

=>\(A\left(x^4+2\right)=4x^2\)

=>\(A\cdot x^4-4x^2+2A=0\) (1)

Đặt \(t=x^2\) (ĐK: t>=0)

(1) sẽ trở thành: \(A\cdot t^2-4t+2A=0\) (2)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot A\cdot2A=-8A^2+16\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(-8A^2+16\ge0\)

=>\(8A^2\le16\)

=>\(A^2\le2\)

=>\(-\sqrt2\le A\le\sqrt2\)

=>\(-\sqrt2+5\le A+5\le\sqrt2+5\)

=>\(5-\sqrt2\le S<=5+\sqrt2\)

=>S nhỏ nhất khi \(S=5-\sqrt2\)

=>\(A=-\sqrt2\)

(2) sẽ trở thành: \(t^2\cdot\left(-\sqrt2\right)-4t-2\sqrt2=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\left(-2\sqrt2\right)=16-4\cdot4=0\)

=>(2) có nghiệm duy nhất là \(t=\frac{4}{2\cdot\left(-\sqrt2\right)}=-\sqrt2\) (loại)

=>S không có giá trị nhỏ nhất

2: B=|x+5|-|x-2|<=|x+5-x+2|=7

Dấu = xảy ra khi -5<=x<=2

1) Xét rằng x > 7 <=> A < 0

Lại xét x < 7 thì mẫu là một số nguyên dương. P/s A có tử và mẫu đều là số dương, mà tử lại bất biến

A(max) <=> mẫu 7 - x nhỏ nhất <=> 7 - x = 1 => x = 7 - 1 = 6 <=> A = 1

Từ những điều trên thì A sẽ có GTLN khi và chỉ khi x = 6

a) B = | 2x - 3 | - 7

| 2x - 3 | ≥ 0 ∀ x => | 2x - 3 | - 7 ≥ -7

Đẳng thức xảy ra <=> 2x - 3 = 0 => x = 3/2

=> MinB = -7 <=> x = 3/2

C = | x - 1 | + | x - 3 |

= | x - 1 | + | -( x - 3 ) | 

= | x - 1 | + | 3 - x | ≥ | x - 1 + 3 - x | = | 2 | = 2

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0

=> ( x - 1 )( 3 - x ) ≥ 0

=> 1 ≤ x ≤ 3

=> MinC = 2 <=> 1 ≤ x ≤ 3

b) M = 5 - | x - 1 |

- | x - 1 | ≤ 0 ∀ x => 5 - | x - 1 | ≤ 5

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

=> MaxM = 5 <=> x = 1

N = 7 - | 2x - 1 |

- | 2x - 1 | ≤ 0 ∀ x => 7 - | 2x - 1 | ≤ 7 

Đẳng thức xảy ra <=> 2x - 1 = 0 => x = 1/2

=> MaxN = 7 <=> x = 1/2

a: \(\left(2x-y+7\right)^{2022}>=0\forall x,y\)

\(\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x\)

=>\(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x,y\)

mà \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}< =0\forall x,y\)

nên \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+7=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2x+7=9\end{matrix}\right.\)

\(P=x^{2023}+\left(y-10\right)^{2023}\)

\(=1^{2023}+\left(9-10\right)^{2023}\)

=1-1

=0

c: \(\left|x-3\right|>=0\forall x\)

=>\(\left|x-3\right|+2>=2\forall x\)

=>\(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2>=4\forall x\)

mà \(\left|y+3\right|>=0\forall y\)

nên \(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y+3\right|>=4\forall x,y\)

=>\(P=\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y-3\right|+2019>=4+2019=2023\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-3=0

=>x=3 và y=3

1:

a: \(A=2+3\sqrt{x^2+1}>=3\cdot1+2=5\)

Dấu = xảy ra khi x=0

b: \(B=\sqrt{x+8}-7>=-7\)

Dấu = xảy ra khi x=-8