Dạng này nhìn mệt vãi:(

Do b > 0 nên chia hai vế của giả thiết cho b, ta được: \(a+\frac{2}{b}\le1\)

Bây giờ đặt \(a=x;\frac{2}{b}=y\). Bài toán trở thành:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm Min:

\(P=x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}\). Quen thuộc chưa:v

Ko biết có tính sai chỗ nào không, nhưng hướng làm là vậy đó!

hay bạn ơi

Bài này cho thêm điều kiện a, b, c dương

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(E=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\)\(\frac{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}}{2}\ge\frac{3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{6}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

vậy gtnn của A là 2, đạt được khi a=b

áp dụng BĐT cô si ta có \(a^2+b^2>=2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

=> A>= 2ab/ab=2

Dấu = khi a=b

vậy min A=2 khi a=b

\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+2012+\frac{1}{ab}+4ab.\)

Ta có \(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)

Áp dụng bđt Cauchy ta có

\(M\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}.8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)

=> \(Q\ge2012+7=2019\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)

Vậy......

\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2012ab+1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)+\frac{1}{4ab}+2012\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\left(x+y\right)^2\ge4xy\),ta có:

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)

\(\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)^2\ge4.4ab\cdot\frac{1}{4ab}=4\Rightarrow4ab+\frac{1}{4ab}\ge2\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\Rightarrow\frac{1}{4ab}\ge1\)

\(\Rightarrow Q\ge4+2+1+2012=2019\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2