Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(5-2\cdot cos^2x\cdot\sin^2x\)
\(=5-2\cdot\left(\sin x\cdot cosx\right)^2\)
\(=5-2\cdot\left(\frac12\cdot\sin2x\right)^2=5-2\cdot\frac14\cdot\sin^22x=-\frac12\cdot\sin^22x+5\)
Ta có: \(0\le\sin^22x\le1\)
=>\(-\frac12\le-\frac12\cdot\sin^22x\le0\)
=>\(-\frac12+5\le-\frac12\cdot\sin^22x+5\le0+5\)
=>\(\frac92\le-\frac12\cdot\sin^22x+5\le5\)
=>\(\frac{3\sqrt2}{2}\le\sqrt{-\frac12\cdot\sin^22x+5}\le\sqrt5\)
=>\(4:\frac{3\sqrt2}{2}\ge\frac{4}{\sqrt{-\frac12\cdot sin^22x+5}}\ge\frac{4}{\sqrt5}\)
=>\(\frac{2\sqrt2}{3}\ge y\ge\frac{4\sqrt5}{5}\)
Do đó: \(y_{\max}=\frac{2\sqrt2}{3}\) khi \(\sin^22x=1\)
=>\(cos^22x=0\)
=>cos2x=0
=>\(2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
=>\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)
\(y_{\min}=\frac{4\sqrt5}{5}\) khi \(\sin^22x=0\)
=>sin 2x=0
=>\(2x=k\pi\)
=>\(x=\frac{k\pi}{2}\)
b: \(f\left(x\right)=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\cdot cos2x-2\)
\(=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\left(cos^2x-\sin^2x\right)-2\)
\(=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\cdot cos^2x+4\cdot\sin^2x-2\)
\(=7\cdot\sin^2x+cos^2x-2=7\cdot\sin^2x+1-\sin^2x-2=6\cdot\sin^2x-1\)
Ta có: \(0\le\sin^2x\le1\)
=>\(0\le6\sin^2x\le6\)
=>\(0-1\le6\sin^2x-1\le6-1\)
=>-1<=f(x)<=5
f(x) min=-1 khi \(\sin^2x=0\)
=>sin x=0
=>\(x=k\pi\)
f(x) max=5 khi \(\sin^2x=1\)
=>\(cos^2x=0\)
=>cosx=0
=>\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f'(x)=0
a) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
b) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
c) f(x)=\(\frac{1}{4}\)(\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0
d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0
a) Cách 1: Ta có:
y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx = 6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1 - cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0.
Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.
Cách 2:
y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) = sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1
Do đó, y' = 0.
b) Cách 1:
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u
Ta được
y' =[sin - sin
] + [sin
- sin
] - 2sin2x = 2cos
.sin(-2x) + 2cos
.sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,
vì cos = cos
=
.
Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.
Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên
cos2 = cos2
'
cos2 = cos2
.
Do đó
y = 2 cos2 + 2cos2
- 2sin2x = 1 +cos
+ 1 +cos
- (1 - cos2x) = 1 +cos
+ cos
+ cos2x = 1 + 2cos
.cos(-2x) + cos2x = 1 + 2
cos2x + cos2x = 1.
Do đó y' = 0.
a: \(-1< =cosx< =1\)
\(\Leftrightarrow-2< =2cosx< =2\)
\(\Leftrightarrow-5< =2cosx-3< =-1\)
\(f\left(x\right)_{min}=-5\) khi cos x=-1
hay \(x=\Pi+k2\Pi\)
\(f\left(x\right)_{max}=-1\) khi cos x=1
hay \(x=k2\Pi\)
b: \(-1< =sinx< =1\)
\(\Leftrightarrow-2< =2sinx< =2\)
\(\Leftrightarrow5< =2sinx+7< =9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}< =\sqrt{2sinx+7}< =3\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{5}< =3\sqrt{2sinx+7}< =9\)
\(f\left(x\right)_{min}=3\sqrt{5}\) khi sin x=-1
hay \(x=-\dfrac{\Pi}{2}+k2\Pi\)
\(f\left(x\right)_{max}=9\) khi sin x=1
hay \(x=\dfrac{\Pi}{2}+k2\Pi\)
a) Ta có:
−1≤cosx≤1,∀x∈R⇔0≤1+cosx≤2⇔0≤2(1+cosx)≤4⇔1≤√2(1+cosx+1≤3−1≤cosx≤1,∀x∈R⇔0≤1+cosx≤2⇔0≤2(1+cosx)≤4⇔1≤2(1+cosx+1≤3
Vậy y ≤ 3, ∀ x ∈ R
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
Vậy ymax = 3 khi x = k2π
b) Ta có:
Với mọi x ∈ R, ta có:
sin(x−π6)≤1⇔3sin(x−π6)≤3⇔3sin(x−π6)−2≤1⇔y≤1sin(x−π6)≤1⇔3sin(x−π6)≤3⇔3sin(x−π6)−2≤1⇔y≤1
Vậy ymax = 1 khi sin(x−π6)=1⇔x=2π3+k2π,k∈Z
a: \(5-2\cdot cos^2x\cdot\sin^2x\)
\(=5-2\cdot\left(\sin x\cdot cosx\right)^2\)
\(=5-2\cdot\left\lbrack\frac12\cdot2\cdot\sin x\cdot cosx\right\rbrack^2=5-2\cdot\left\lbrack\frac12\cdot\sin2x\right\rbrack^2\)
\(=5-2\cdot\frac14\cdot\sin^22x=-\frac12\cdot\sin^22x+5\)
\(0\le\sin^22x\le1\)
=>\(0\ge-\frac12\sin^22x\ge-\frac12\)
=>\(0+5\ge-\frac12\sin^22x+5\ge-\frac12+5\)
=>\(5\ge-\frac12\sin^22x+5\ge\frac92\)
=>\(\frac92\le-\frac12\sin^22x+5\le5\)
=>\(\sqrt{\frac92}\le\sqrt{-\frac12\cdot\sin^22x+5}\le\sqrt5\)
=>\(\frac{3\sqrt2}{2}\le\sqrt{-\frac12\cdot\sin^22x+5}\le\sqrt5\)
=>\(\frac{2}{3\sqrt2}\ge\frac{1}{\sqrt{-\frac12\cdot\sin^22x+5}}\ge\frac{1}{\sqrt5}\)
=>\(\frac{2\cdot4}{3\sqrt2}\ge\frac{1\cdot4}{\sqrt{-\frac12\cdot\sin^22x+5}}\ge\frac{1\cdot4}{\sqrt5}\)
=>\(\frac{4\sqrt2}{3}\ge y\ge\frac{4}{\sqrt5}\)
=>\(y_{\max}=\frac{4\sqrt2}{3}\) khi \(-\frac12\cdot\sin^22x+5=\frac92\)
=>\(-\frac12\cdot\sin^22x=-\frac12\)
=>\(\sin^22x=1\)
=>\(cos^22x=0\)
=>cos2x=0
=>\(2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
=>\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)
\(y_{\min}=\frac{4}{\sqrt5}\) khi \(-\frac12\cdot\sin^22x+5=5\)
=>\(\sin^22x=0\)
=>sin 2x=0
=>\(2x=k\pi\)
=>\(x=\frac{k\pi}{2}\)
b: \(f\left(x\right)=3\cdot\sin^2x+5\cdot cos^2x-4\cdot cos2x-2\)
\(=3\left(1-cos^2x\right)+5\cdot cos^2x-4\left(2\cdot cos^2x-1\right)-2\)
\(=3-3\cdot cos^2x+5\cdot cos^2x-8\cdot cos^2x+4-2=-6\cdot cos^2x+5\)
Ta có: \(0<=cos^2x\le1\)
=>\(0\ge-6\cdot cos^2x\ge-6\)
=>\(0+5\ge-6\cdot cos^2x+5\ge-6+5\)
=>5>=y>=-1
Do đó: \(y_{\min}=-1\) khi \(-6\cdot cos^2x+5=-1\)
=>\(-6\cdot cos^2x=-6\)
=>\(cos^2x=1\)
=>\(\sin^2x=0\)
=>sin x=0
=>\(x=k\pi\)
y max=5 khi \(-6\cdot cos^2x+5=5\)
=>\(-6\cdot cos^2x=0\)
=>cosx=0
=>\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)