2: \(-4x^2+5x-2\)

\(=-4\left(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=-4\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{8}+\dfrac{25}{64}+\dfrac{7}{64}\right)\)

\(=-4\left(x-\dfrac{5}{8}\right)^2-\dfrac{7}{16}< =-\dfrac{7}{16}< 0\forall x\)

Sửa đề:\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}\)

Để f(x)>0 với mọi x thì \(\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}>0\forall x\)

=>\(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2< 0\forall x\)(1)

\(\text{Δ}=\left[\left(4m+4\right)\right]^2-4\cdot\left(-1\right)\left(1-4m^2\right)\)

\(=16m^2+32m+16+4\left(1-4m^2\right)\)

\(=32m+20\)

Để BĐT(1) luôn đúng với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}32m+20< 0\\-1< 0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>32m+20<0

=>32m<-20

=>\(m< -\dfrac{5}{8}\)

BÀi 1:

TH1: m=0

=>\(f\left(x\right)=0x^2-2\left(0-1\right)x+4\cdot0-1=2x-1\)

f(x)=2x-1 không thể luôn dương với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4m\left(4m-1\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4m\left(4m-1\right)\)

\(=4m^2-8m+4-16m^2+4m=-12m^2-4m+4\)

Để f(x) luôn dương thì f(x)>0 với mọi x

=>Δ<0 và a>0

=>\(-12m^2-4m+4<0\) và m>0

=>\(3m^2+m-1\) >0 và m>0

=>\(m^2+\frac13m-\frac13>0\) và m>0

=>\(m^2+2\cdot m\cdot\frac16+\frac{1}{36}-\frac{13}{36}>0\) và m>0

=>\(\left(m+\frac16\right)^2>\frac{13}{36}\) và m>0

=>(\(m+\frac16>\frac{\sqrt{13}}{6}\) hoặc \(m+\frac16<-\frac{\sqrt{13}}{6}\) ) và m>0

=>(\(m>\frac{\sqrt{13}-1}{6}\) hoặc \(m<\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\) ) và m>0

=>\(m>\frac{\sqrt{13}-1}{6}\)

Chọn A

Tam thức : -4x²+ 5x-1 có a= -4 và ∆ = -7< 0 

suy ra -4x²+ 5x-1<0 với mọi x

Do đó h(x)  luôn dương khi và chỉ khi 

f(x) = -x²+ 4( m+1) x+ 1- 4m² luôn âm

Vậy với m< -5/8 thì biểu thức h(x) luôn dương.

a: \(\Delta=\left\lbrack2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-3m+4\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-3m+4\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-m^2+3m-4\right)=4\left(m-3\right)\)

Để f(x)>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>4(m-3)<=0 và 1>0

=>m-3<=0

=>m<=3

b: \(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(8m+1\right)\)

\(=m^2+4m+4-32m-4=m^2-28m=m\left(m-28\right)\)

Để f(x)>0 với mọi x thì Δ<0 và a>0

=>m(m-28)<0 và 1>0

=>m(m-28)<0

=>0<m<28

c: \(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m+7\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-28=m^2-6m-27=\left(m-9\right)\left(m+3\right)\)

Để f(x)>0 với mọi x thì Δ<0 và a>0

=>(m-9)(m+3)<0 và 1>0

=>-3<m<9

Chọn A.

Tam thức -4 x 2  + 5x - 2 có a = -4 <0, Δ = -7 < 0 suy ra -4 x 2  + 5x - 2 < 0, ∀x

Do đó 

luôn dương khi và chỉ khi - x 2  + 4(m + 1)x + 1 - 4 m 2  luôn âm

Vậy với  thì biểu thức  luôn dương.

1.

Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)

\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn

Nếu \(x\ne0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)

2.

\(\dfrac{-x^2+2x-5}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2-4}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+1>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Kết luận: \(-2< m< 2\)

a: TH1: m=0

=>\(g\left(x\right)=4\cdot0\cdot x^2-4\left(0-1\right)x+0-3=4x-3\)

Với x=1 thì g(x)=4*1-3=1>0

=>g(x) không thể luôn âm với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-4\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot4m\left(m-3\right)\)

\(=16\left(m^2-2m+1\right)-16m\left(m-3\right)=16m^2-32m+16-16m^2+48m\)

=16m+16

Để g(x) luôn âm với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>16m+16<0 và 4m<0

=>m<-1 và m<0

=>m<-1

b: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m^2+3m+4\right)\)

\(=4\left(m_{}^2+4m+4\right)+8m^2-12m-16\)

\(=4m^2+16m+16+8m^2-12m-16=12m^2+4m\) =4m(3m+1)

Để f(x)>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>4m(3m+1)<=0 và 1>0

=>m(3m+1)<=0

=>-1/3<=m<=0

Bài 2: 

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m-2)(m+2)<0

hay -2<m<2

a: \(f\left(x\right)=x^2+\left(m+1\right)x+2m+7\)

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m+7\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-28=m^2-6m-27=\left(m-9\right)\left(m+3\right)\)

Để f(x)>0 với mọi x thì Δ<0 và a>0

=>1>0 và (m-9)(m+3)<0

=>-3<m<9

b: \(f\left(x\right)=\left(3m+1\right)x^2-\left(3m+1\right)x+m+4\)

TH1: m=-1/3

\(f\left(x\right)=\left(3\cdot\frac{-1}{3}+1\right)\cdot x^2-\left(3\cdot\frac{-1}{3}+1\right)x+\frac{-1}{3}+4=\frac{11}{3}\) >0(đúng)

=>Nhận

TH2: m<>-1/3

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\cdot\left(3m+1\right)\left(m+4\right)\)

\(=\left(3m+1\right)\left(3m+1-4m-16\right)=\left(3m+1\right)\left(-m-15\right)=-\left(3m+1\right)\left(m+15\right)\)

Để f(x)>0 với mọi x thì Δ<0 và a>0

=>-(3m+1)(m+15)<0 và 3m+1>0

=>(3m+1)(m+15)>0 và 3m+1>0

=>3m+1>0 và m+15>0

=>m>-1/3

Vậy: m>=-1/3