gọi g(x) là thương phép chia 

số dư có dạng ax+b

đặt x^99 + x^55 + x^11 + 7 = f(x)

ta có

f(x) = g(x) . (x^2 - 1) +ax+b

x = 1

=> f(1) = g(1) . (1^2 - 1) + a+b

 11 = a+b

x=-1

=> f(-1) = g(-1) . (-1^2 - 1) -a+b

=> 3 = -a+b

ta có

a+b = 11

b-a = 3

=> 2a = 8

=> a=4

b=7

thương phép chia là 4a+7

\(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(-1\right)=-1+5\\f\left(1\right)=1+5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-8a+4b+c=0\\-a+b+c=4\\a+b+c=6\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b+c=5\\4b+c=8\end{cases}\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}.}}}..\)

Ta có : \(P=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}=20\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) được \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

Lại có : \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

Suy ra : \(P\ge20+1=21\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}x,y>0\\x+y=2\\x=y\\x^2+y^2=2xy\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy MIN P = 21 <=> x = y = 1

2/ Ta phân tích

ax³ + bx² + c = (x + 2)[a​x² + (b - 2a)x - 2(b - 2a)] + c + 4(b - 2a) = (x² - 1)(ax + b) + ax + b + c

Từ đó kết hợp với đề bài ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}c+4\left(b-2a\right)=0\\a=1\\b+c=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}}\)

Ta có A = (x + y)³ + z³ + kxyz - 3xy(x + y)

= (x + y + z)[(x + y)² - (x + y)z + z²] + xy(kz - 3x - 3y)

Nhìn vào cái này ta dễ thấy là để A chia hết cho x + y + z thì k = - 3

vì đa thức chia là Q(x) bậc hai nên đa thức dư có dạng ax + b.

khi đó P(x) = Q(x). K(x) + ax +b.

lại có Q(x) có 2 nghiệm là 1 và - 1 nên ta có:

P(1) = a + b

P(-1) = -a + b.

mà P(1) = 0; P(-1) = 4. thay vào trên giải hệ ta tìm được a và b.

TXĐ: \(D=\left(-1;1\right)\)

\(B=\frac{2018x+2019\sqrt{1-x^2}+2020}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\frac{2018x+2020}{\sqrt{1-x^2}}+2019\)

Đặt  \(A=\frac{2018x+2020}{\sqrt{1-x^2}}>0\)vì \(-1< x< 1\)

=> \(\sqrt{1-x^2}.A=2018x+2020\)

=> \(\left(1-x^2\right)A^2=2018^2x^2+2.2018.2020x+2020^2\)

<=> \(\left(2018^2+A^2\right)x^2+2.2018.2020x+2020^2-A^2=0\)

pt trên có nghiệm <=> \(\Delta\ge0\)<=> \(\left(2018.2020\right)^2-\left(2018^2+A^2\right).\left(2020^2-A^2\right)\ge0\)

<=> \(A^4-\left(2020^2-2018^2\right)A^2\ge0\)

<=> \(A^2-8076\ge0\)

<=> \(A\ge\sqrt{8076}\)

"=" xảy ra <=> \(x=-\frac{1009}{1010}\left(tm\right)\)

Vậy GTNN của B = \(\sqrt{8076}+2019\) đạt tại  \(x=-\frac{1009}{1010}\)