b: \(A=\frac{1-x}{2+x}-\frac{x-1}{x-2}+\frac{4-x^3}{4-x^2}\)

\(=\frac{-\left(x-1\right)}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}+\frac{x^3-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{-\left(x-1\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x+2\right)+x^3-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{-\left(x^2-3x+2\right)-\left(x^2+x-2\right)+x^3-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{-x^2+3x-2-x^2-x+2+x^3-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^3-2x^2+2x-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{x^2\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x^2+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2+2}{x+2}\)

d:

Sửa đề: Tìm x∈Z lớn nhất để A>0

A>0

=>\(\frac{x^2+2}{x+2}>0\)

=>x+2>0

=>x>-2

mà x là số nguyên lớn nhất có thể

nên x=-3

e: Để A là số nguyên thì \(x^2+2\) ⋮x+2

=>\(x^2-4+6\) ⋮x+2

=>6⋮x+2

=>x+2∈{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6}

=>x∈{-1;-3;0;-4;1;-5;4;-8}

Bài giải

Cho:
[
A=\frac{1-x}{2+x}-\frac{x-1}{x-2}+\frac{4-x^3}{4-x^2},\quad (x\neq \pm2).
]

(b) Rút gọn A

Ta có:
[
\frac{1-x}{2+x}=-\frac{x-1}{x+2}.
]

Do đó:
[
-\frac{x-1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}=(x-1)\Big(-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}\Big)
=-\frac{2x(x-1)}{x^2-4}.
]

Mặt khác:
[
\frac{4-x^3}{4-x^2}=\frac{x^3-4}{x^2-4}=x+\frac{4(x-1)}{x^2-4}.
]

Suy ra:
[
A=-\frac{2x(x-1)}{x^2-4}+x+\frac{4(x-1)}{x^2-4}
=x-\frac{2(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
]

[
\Rightarrow A=x-\frac{2(x-1)}{x+2}=\frac{x^2+2}{x+2}.
]

(d) Tìm (x\in \mathbb{Z}) nhỏ nhất để (A>0)

Vì (x^2+2>0) nên dấu của (A) phụ thuộc vào (x+2).
Điều kiện: (A>0 \iff x+2>0 \iff x>-2).
Số nguyên nhỏ nhất thoả mãn: (x=-1).

(e) Tìm (x\in\mathbb{Z}) để (A\in\mathbb{Z})

Ta có:
[
A=\frac{x^2+2}{x+2}=x-2+\frac{6}{x+2}.
]

Để (A\in\mathbb{Z}), cần (\dfrac{6}{x+2}\in \mathbb{Z}).
Vậy (x+2) phải là ước của 6: (\pm1,\pm2,\pm3,\pm6).

[
\Rightarrow x\in{-1,0,1,4,-3,-4,-5,-8}.
]

👉 Kết quả:

• (b) (A=\dfrac{x^2+2}{x+2},; x\neq \pm2).
• (d) (x=-1).
• (e) (x\in{-8,-5,-4,-3,-1,0,1,4}).