Lời giải:

Vì số chia là $x^2-1$ có bậc 2 nên đa thức dư phải có bậc nhỏ hơn $2$

Đặt:

\(\underbrace{1+x^9+x^{18}+...+x^{54}}_{\text{7 số hạng}}=Q(x)(x^2-1)+ax+b\)

Thay \(x=1\Rightarrow 7=Q(1).0+a+b\Leftrightarrow a+b=7\) \((1)\)

Thay \(x=-1\Rightarrow 1=Q(-1).0-a+b\Leftrightarrow -a+b=1\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow a=3;b=4\)

Như vậy đa thức dư là \(3x+4\)

ta có P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + R(x)                                   (   R(x) = mx^2 + nx + i)
 => P(1) = m . 1 + n.1 + i = -15
=> P(2) = m . 2^2 + n . 2 + i = -15
=> P(3) = m . 3^2 + n . 3 + i = -9

còn lại tự làm nhé

1) A=\(\left(x+y\right)^6+\left(x-y\right)^6=\left[\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\right]\left[binh-phuong-thieu\right]\)

                                             \(=2\left(x^2+y^2\right)\left[binh-phuong-thieu..\right]\)=> A chia hết cho x²+y²

2)  gọi dư của phép chia là ax+b

 ta có f(1) = a+b =51

         f(-1) = -a+b =1 

=> b =26 ; a =25

Vậy dư là : 25x + 26

P(x) chia x-1 dư 5

=>P(1)=5

P(x) chia x-2 dư 7

=>P(2)=7

P(x) chia x-3 dư 10

=>P(3)=10

P(x) chia x+2 dư -4

=>P(-2)=-4

(x-1)(x-2)(x-3)(x+2) có bậc là 4

=>R(x) có bậc là 3

=>\(R\left(x\right)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\)

Gọi đa thức thương là Q(x)

Theo đề, ta có: \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+2\right)+R\left(x\right)\)

P(1)=5

=>\(Q\left(1\right)\cdot\left(1-1\right)\left(1-2\right)\left(1-3\right)\left(1+2\right)+R\left(1\right)=5\)

=>R(1)=5

=>\(a\cdot1^3+b\cdot1+c+d=5\)

=>a+b+c+d=5

P(2)=7

=>\(Q\left(2\right)\cdot\left(2-1\right)\left(2-2\right)\left(2-3\right)\left(2+2\right)+R\left(2\right)=7\)

=>R(2)=7

=>8a+4b+2c+d=7

=>8a+4b+2c+d-a-b-c-d=7-5

=>7a+3b+c=2

=>14a+6b+2c=4(3)

P(3)=10

=>\(Q\left(3\right)\cdot\left(3-1\right)\left(3-2\right)\left(3-3\right)\left(3+2\right)+R\left(3\right)=10\)

=>R(3)=10

=>27a+9b+3c+d=10

=>27a+9b+3c+d-a-b-c-d=10-5=5

=>26a+8b+2c=5(2)

P(-2)=-4

=>\(Q\left(-2\right)\cdot\left(-2-1\right)\left(-2-2\right)\left(-2-3\right)\left(-2+2\right)+R\left(-2\right)=-4\)

=>R(-2)=-4

=>-8a+4b-2c+d=-4

=>-8a+4b-2c+d-a-b-c-d=-4-5

=>-9a+3b-3c=-9

=>-3a+b-c=-3

=>-6a+2b-2c=-6(1)

Từ (1),(2) suy ra -6a+2b-2c+26a+8b+2c=-6+5

=>20a+10b=-1

Từ (1),(3) suy ra -6a+2b-2c+14a+6b+2c=-6+4

=>8a+8b=-2

=>10a+10b=-2,5

=>20a+10b-10a-10b=-1+2,5

=>10a=1,5

=>a=0,15

8a+8b=-2

=>8(a+b)=-2

=>a+b=-0,25

=>b=-0,25-0,15=-0,4

-3a+b-c=-3

=>3a-b+c=3

=>c=3-3a+b=3-3*0,15+(-0,4)=3-0,4-0,45=3-0,85=2,15

a+b+c+d=5

=>d+0,15-0,4+2,15=5

=>d=3,1

Vậy: R(x)=0,15x^3-0,4x^2+2,15x+3,1

Theo đề bài ta có:

f(x) = x + x³ + x⁹ + x²⁷ + x⁸¹ + x²⁴³ = Q(x).(x² - 1) + ax + b

Thế f(1), f(-1) ta có hệ:

\(\hept{\begin{cases}a+b=6\\-a+b=-6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=0\end{cases}}\)

Vậy a + b = 6

1) 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\)( a khác 0 )

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c+d+e=0\)                                            (1)

\(f\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=0\)                              (2)

\(f\left(3\right)=81a+27b+9c+3d+e=0\)                           (3)

\(f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+e=6\)                      (4)

\(f\left(5\right)=625a+125b+25c+5d+e=72\)                (5)

\(A=f\left(2\right)-f\left(1\right)=15a+7b+3c+d=0\)

\(B=f\left(3\right)-f\left(2\right)=65a+19b+5c+d=0\)

\(C=f\left(4\right)-f\left(3\right)=175a+37b+7c+d=6\)

\(D=f\left(5\right)-f\left(4\right)=369a+61b+9c+d=72-6=66\)

\(E=B-A=50a+12b+2c=0\)

\(F=C-B=110a+18b+2c=6\)

\(G=D-C=194a+24b+2c=66-6=60\)

Tiếp tục lấy H=F-E; K=G-F; M=H-K

Ta tìm được a

Thay vào tìm được b,c,d,e

1. gọi đa thức cần tìm là f(x) =a.x^4+b.x^3+c.x^2+dx+e

có f(1)=f(2)=f(3) = 0 nên x=1,2,3 la nghiệm của f(x) = 0 vậy f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(mx+n) 

thay f(4)=6 và f(5)=72 tìm được m =2 và n= -7 

Vậy đa thức f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(2x-7) => e = (-1).(-2).(-3).(-7) = 42

Với x=2010 thì (a 2010^4+b.2010^3+c.2010^2+d.2010 ) luôn chia hết 10 vậy số dư f(2010) chia 10 = số dư d/10 = 2 (42 chia 10 dư 2).

2. Thiếu dữ liệu 

3. đa thức f(x) chia đa thức (x-3) có số dư là 2 =>bậc f(x) = bậc (x-3)=1 và f(x) = m.(x-3) +2=mx+2-3m (1)

...........................................(x+4)...................9..........................................f(x) = n(x+4) + 9=nx+4n+9 (2)

để (1)(2) cùng xảy ra thì m=n và (2-3m)=(4n+9) => m = n = -1 khi đó đa thức f(x) = -x +5 

Không hiếu dữ liệu cuối f(x) chia 1 đa thức bậc 2 lại có thương là 1 đa thức bậc 2? => vô lý