Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\begin{cases} u_1 = 4 \\ u_{n+1} = \frac{3n}{n+1} u_n - \frac{2n^2 + 6n + 3}{n^2 (n+1)^3} \end{cases}\)
=>\(\frac{(n+1) u_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{n u_n}{3^n} - \frac{2n^2 + 6n + 3}{3^{n+1} \cdot n^2 (n+1)^2}\)
Đặt \(v_n = \frac{n u_n}{3^n}\)
=>\(\) \(v_1 = \frac{1 \cdot 4}{3^1} = \frac{4}{3}\)
Hệ thức sẽ trở thành:
\(v_{n+1} - v_n = -\frac{2n^2 + 6n + 3}{3^{n+1} \cdot n^2 (n+1)^2}\)
\(\frac{2n^2 + 6n + 3}{3^{n+1} n^2 (n+1)^2} = \frac{3(n+1)^2 - n^2}{3^{n+1} n^2 (n+1)^2} = \frac{1}{3^n \cdot n^2} - \frac{1}{3^{n+1} (n+1)^2}\)
=>\(v_{n+1} - v_n = \frac{1}{3^{n+1} (n+1)^2} - \frac{1}{3^n \cdot n^2}\)
Cộng các sai phân tử từ 1 đến n-1, ta có:
\(\sum_{k=1}^{n-1} (v_{k+1} - v_k) = \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{3^{k+1} (k+1)^2} - \frac{1}{3^k \cdot k^2} \right)\)
=>\(v_n - v_1 = \frac{1}{3^n \cdot n^2} - \frac{1}{3^1 \cdot 1^2}\)
\(v_n - \frac{4}{3} = \frac{1}{3^n \cdot n^2} - \frac{1}{3} \implies v_n = 1 + \frac{1}{3^n \cdot n^2}\)
=>\(\frac{n u_n}{3^n}=1+\frac{1}{3^n \cdot n^2}\)
=>\(u_{n}=\frac{3^n}{n}+\frac{1}{n^3}\)
\(\frac{n u_n}{4} = \frac{3^n \cdot v_n}{4} = \frac{3^n}{4} \left( 1 + \frac{1}{3^n \cdot n^2} \right) = \frac{3^n}{4} + \frac{1}{4n^2}\)
=>\(\lim \left( \frac{n u_n}{4} \right) = +\infty\)
\(u_n=1+2\left(n-1\right)=1+2n-2=2n-1\left(\text{*}\right)\)
Chứng minh
Với \(n=1\)
\(VT=1;VP=2\cdot1-1=1=VT\)
Vậy \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=1\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\ge1\) tức là
\(u_k=u_{k-1}+2=2k-1\)
Ta chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp ta có
\(u_{k+1}=u_k+2=2k-1+2=2k+2-1=2\left(k+1\right)-1\)
Vậy ...
A=B/2:B=A (nhap tren may)
dc 3/2 3/4 3/8
=> cttq Un= 3/(2^(n-1))
* Ta có:
u 2 = 2 u 1 = 2.2 = 4 = 2 2 u 3 = 2 u 2 = 2.4 = 8 = 2 3 u 4 = 2 u 3 = 2.8 = 16 = 2 4 u 5 = 2 u 4 = 2.16 = 32 = 2 5
Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát u n có dạng: u n = 2 n ∀ n ≥ 1 ∗
* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*) đúng.
Với n=1 ; có: u 1 = 2 1 = 2 (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1
Giả sử (*) đúng với n= k , có nghĩa ta có: u k = 2 k (2)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: u k + 1 = 2 k + 1 .
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:
u k + 1 = 2 u k = 2 . 2 k = 2 k + 1
Vậy (*) đúng với n = k+1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chọn đáp án B.