Sửa: \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4\); x+y=1

Ta có \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4=2x^4+2x^3y-x^3+2xy^3-y^3+2y^4\)

\(=x^3\left(2x+2y\right)+y^3\left(2x+2y\right)-\left(x^3+y^3\right)=\left(2x+2y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x^3+y^3\right)\)

\(=\left(2x+2y-1\right)\left(x^3+y^3\right)=x^3+y^3\)

Do \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2-xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\)

Mà \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy=1\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2=1\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

 Biến đổi bt tương đương : (x^2-1)/2 =y^2 
Ta có: vì x,y là số nguyên dương nên 
+) x>y và x phải là số lẽ. 
Từ đó đặt x=2k+1 (k nguyên dương); 
Biểu thức tương đương 2*k*(k+1)=y^2 (*); 
Để ý rằng: 
Y là 1 số nguyên tố nên y^2 sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là : 
{1,y, y^2} ; 
từ (*) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2 =>k=1; 
=>x=3. 
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2 (thoả mãn).

Nguyễn Thị Mai copy trên mạng,ko tính

\(1+x+x^2+x^3=1987^y\)

\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)=1987^y\)

Dễ dàng chứng minh được \(1+x,1+x^2\)là 2 sô nguyên tố cùng nhau và 1987 là số nguyên tố nên suy ra

\(\left\{{}\begin{matrix}1+x=1\\1+x^2=1987^y\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}1+x=-1\\1+x^2=-1987^y\end{matrix}\right.\left(l\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

em giải thử :)

+) Xét y = 0 \(\Rightarrow x=0\)

+) Xét \(y\ne0\)

\(\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=1987^y\)

Vì \(1987^y\) khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa thừa số 2

\(\Rightarrow\)Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=1987^q\\x+1=1987^p\end{matrix}\right.\left(q>p;p+q=y\right)\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)=1987^p\left(1987^{q-p}-1\right)\)

Do \(x\left(x-1\right)⋮̸1987^p\)

\(\Rightarrow\)loại

Vậy x = 0, y = 0

đcm thu hường

chúc thu hường sớm có bầu 3 bé

Quy tắc xét tính chẵn lẻ của hàm số:

Chẵn \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in D\Rightarrow-x\in D\\f\left(x\right)=f\left(-x\right)\end{matrix}\right.\)

Lẻ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in D\Rightarrow-x\in D\\f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\end{matrix}\right.\)

a/ \(g=2x^4-x^2+5\)

\(x\in D=R\Rightarrow-x\in D\)

\(g\left(-x\right)=2\left(-x\right)^4-\left(-x\right)^2+5=2x^4-x^2+5=g\left(x\right)\)

=> hàm số chẵn

b/ \(y=x^3+3x\)

\(x\in D=R\Rightarrow-x\in D\)

\(y\left(-x\right)=\left(-x\right)^3+3\left(-x\right)=-x^3-3x=-\left(x^3+3x\right)\)

\(\Rightarrow y\left(x\right)=-y\left(-x\right)\)

=> hàm số lẻ

c/ \(y=x^3+3x+1\)

\(x\in D=R\Rightarrow-x\in D\)

\(y\left(-x\right)=\left(-x\right)^3+3\left(-x\right)+1=-x^3-3x+1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(x\right)\ne y\left(-x\right)\\y\left(x\right)\ne-y\left(-x\right)\end{matrix}\right.\)

=> hàm số ko chẵn ko lẻ

d/ \(y=x^4-3\)

\(x\in D=R\Rightarrow-x\in D\)

\(y\left(-x\right)=\left(-x\right)^4-3=x^4-3=y\left(x\right)\)

=> hàm số chẵn

e/ \(y=3x^4-\left|x\right|+2\)

\(x\in D=R\Rightarrow-x\in D\)

\(y\left(-x\right)=3\left(-x\right)^4-\left|-x\right|+2=3x^4-\left|x\right|+2=y\left(x\right)\)

=> hàm số chẵn

f/ \(x\in D=R\Rightarrow-x\in D\)

\(y\left(-x\right)=\left|-x-1\right|+\left|-x+1\right|=\left|x+1\right|+ \left|x-1\right|=y\left(x\right)\)

=> hàm số chẵn

Các câu sau làm tương tự

a/ \(g\left(-x\right)=2\left(-x\right)^4-\left(-x\right)^2+5=2x^4-x^2+5=g\left(x\right)\)

Hàm chẵn

b/ \(y\left(-x\right)=\left(-x\right)^3+3\left(-x\right)=-x^3-3x=-\left(x^3+3x\right)=-y\left(x\right)\)

Hàm lẻ

c/ \(y\left(-x\right)=-x^3-3x+1\)

Hàm ko chẵn ko lẻ

d/ \(y\left(-x\right)=x^4-3=y\left(x\right)\) hàm chẵn

e/ \(y\left(-x\right)=3x^4-\left|x\right|+2=y\left(x\right)\) hàm chẵn

f/ \(y\left(-x\right)=\left|-x-1\right|+\left|-x+1\right|=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=y\left(x\right)\)

Hàm chẵn

g/ \(y\left(-x\right)=\left|-x-1\right|-\left|-x+1\right|=\left|x+1\right|-\left|x-1\right|=-y\left(x\right)\)

Hàm lẻ

h/ Hàm ko chẵn ko lẻ

Bài 1: 

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x-7\right)^2-\left(3x^2-12x-9\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-12x-9-x^2+6x+7\right)\left(3x^2-12x-9+x^2-6x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-6x-2\right)\left(4x^2-18x-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-1\right)\left(2x^2-9x-8\right)=0\)

hay \(x\in\left\{\dfrac{3+\sqrt{13}}{2};\dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\dfrac{9+\sqrt{145}}{4};\dfrac{9-\sqrt{145}}{4}\right\}\)