Câu hỏi của Nguyễn Lê Nhật Linh

Question

Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

$5x^2+8y^2=20412$

Trần Thị Kim Ngân · Accepted Answer

$5x^2+8y^2=20412$

Vì $8y^2⋮2$và $20412⋮2$$\rightarrow5x^2⋮2\rightarrow x^2⋮2\rightarrow x⋮2.$

Đặt $x=2k\left(k\in Z\right)$, ta có:

$5\times4k^2+8y^2=20412$

$\leftrightarrow5k^2+2y^2=5103$

Vì $5103$lẻ và $2y^2$chẵn nên $5k^2$lẻ $\rightarrow k$lẻ.

+) Nếu $y$ chẵn thì $2y^2⋮4$nên $5103$và $5k^2$có cùng số dư khi chia cho$4$.

Ta thấy $5103\div4$dư $3$thì $5k^2\div4$dư $3$$\rightarrow k^2\div4$ dư $3$.

Vô lý, một số chính phương chia cho $4$ chỉ có thể dư $0$hoặc$1$.

+) Nếu$y$lẻ thì $y^2$chỉ có tận cùng là $1,5,9$nên $2y^2$có tận cùng là $2,0,8$

mà $5k^2$có tận cùng là 5 $\rightarrow$$y^2$có tận cùng là $9$

$\rightarrow y$có tận cùng là$3,7$

Thử bằng máy tính cầm tay với các giá trị của $y=3,13,23,33,43,7,17,27,37,47$ta tìm được $y=27$thỏa mãn

$\rightarrow k=27\rightarrow x=54$

Vậy phương trình có nghiệm nghuyên là $\left(x;y\right)=\left(54;27\right)$

Câu trả lời:

$5x^2+8y^2=20412$

Vì $8y^2⋮2$và $20412⋮2$$\rightarrow5x^2⋮2\rightarrow x^2⋮2\rightarrow x⋮2.$

Đặt $x=2k\left(k\in Z\right)$, ta có:

$5\times4k^2+8y^2=20412$

$\leftrightarrow5k^2+2y^2=5103$

Vì $5103$lẻ và $2y^2$chẵn nên $5k^2$lẻ $\rightarrow k$lẻ.

+) Nếu $y$ chẵn thì $2y^2⋮4$nên $5103$và $5k^2$có cùng số dư khi chia cho$4$.

Ta thấy $5103\div4$dư $3$thì $5k^2\div4$dư $3$$\rightarrow k^2\div4$ dư $3$.

Vô lý, một số chính phương chia cho $4$ chỉ có thể dư $0$hoặc$1$.

+) Nếu$y$lẻ thì $y^2$chỉ có tận cùng là $1,5,9$nên $2y^2$có tận cùng là $2,0,8$

mà $5k^2$có tận cùng là 5 $\rightarrow$$y^2$có tận cùng là $9$

$\rightarrow y$có tận cùng là$3,7$

Thử bằng máy tính cầm tay với các giá trị của $y=3,13,23,33,43,7,17,27,37,47$ta tìm được $y=27$thỏa mãn

$\rightarrow k=27\rightarrow x=54$

Vậy phương trình có nghiệm nghuyên là $\left(x;y\right)=\left(54;27\right)$