Bổ đề : Số chính phương chia 5 chỉ dư 1 và 4 (bạn tự CM)
Ta dễ dàng thấy 5^2p + 2013 chia 5 dư 3 (vế trái chia 5 dư 3)                                                            (1)
Từ bổ đề ta có q^2 chia 5 dư 1 hoặc 4 mà 5^2p^2 chia hết cho 5 nên vế phải chia 5 dư 1 hoặc 4 (2)
Từ (1) và (2), ta thấy sự mâu thuẫn
Vậy không có p q nguyên tố thoả mãn đề bài

k nhé

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé

Ta chứng minh a² với a nguyên chia 5 chỉ có số dư là 0;1;4

Thật vậy: a là số nguyên nên a có 5 dạng

+) Nếu a = 5k thì \(a^2=\left(5k\right)^2=25k^2⋮5\)(dư 0)

+) Nếu a = 5k + 1 thì \(a^2=\left(5k+1\right)^2=25k^2+10k+1\)(chia 5 dư 1)

+) Nếu a = 5k + 2 thì \(a^2=\left(5k+2\right)^2=25k^2+20k+4\)(chia 5 dư 4)

+) Nếu a = 5k + 3 thì \(a^2=\left(5k+3\right)^2=25k^2+30k+9\)(chia 5 dư 4)

+) Nếu a = 5k + 4 thì \(a^2=\left(5k+4\right)^2=25k^2+40k+16\)(chia 5 dư 1)

Vậy ta đã có đpcm.

Áp dụng vào bài toán: \(q^2\)chia 5 chỉ có thể dư 0;1 hoặc 4

Lại có: \(5^{2p^2}\)chia hết cho 5 nên \(5^{2p^2}+q^2\)chia 5 dư 0;1 hoặc 4

Ta có: \(5^{2p}⋮5\)và 2013 chia 5 dư 3 nên \(5^{2p}+2013\)chia 5 dư 3 

Vế trái chia 5 dư 3 , vế phải chia 5 dư 0;1 hoặc 4 nên không có cặp số nguyên tố (p;q) thỏa mãn bài toán

mình không biết

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.

Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.

Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$

$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$

$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.

Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.

Đặt $a=k-x-y>0$.

Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.

Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),

suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.

Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.

Do đó: $x=y$.