c,Ta có: \(n^2+n+1⋮n+1\)

\(\Rightarrow\left(n^2+n\right)+1⋮n+1\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1⋮n+1\)

\(\Rightarrow1⋮n+1\) (vì n(n+1)đã chia hết cho n+1)

\(\Rightarrow n+1=1\Rightarrow n=0\)

mình gợi ý là bạn thử n là 2 hoặc 3 rồi chứng minh số đó ko lớn hơn 2 hoặc 3 ( tùy trường hợp ) chứ mình lười ko muốn viết

a) 3n + 8 \(⋮\)2n + 1 

=> 2.(3n + 8) \(⋮\)2n + 1 

=> 3.(2n + 1 )  + 13 \(⋮\)2n + 1 

=> 13 \(⋮\)2n + 1 

=> 2n + 1 = 13 hoặc 2n + 1 = 1 

<=> n = 6 hoặc n = 0 

Vậy n = 6 hoặc n = 0 

b) n² + 3n + 6 chia hết cho n + 3 

=> n ( n+3) + 6 chia hết cho n + 3 

=> 6 chia hết cho n + 3 

=> n + 3 \(\in\)Ư(6) = { 1; 2; 3; 6}

=> n \(\in\){ 0; 3}

Ta có:

\(4n-7=4(n-1)-3\)

Vì \(4n-7\) chia hết cho \(n-1\) nên \(3\) chia hết cho \(n-1\).

Suy ra \(n-1\in\{-3,-1,1,3\}\).

Vì \(n\in\mathbb{N}\) và \(n\ne1\), ta được \(n\in\{0;2;4\}\).

Vậy \(n\in\{0;2;4\}\).

Ta có:

\(10-2n=-2(n-2)+6\)

Vì \(10-2n\) chia hết cho \(n-2\) nên \(6\) chia hết cho \(n-2\).

Suy ra \(n-2\in\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}\).

Vì \(n\in\mathbb{N}\) và \(n\ne2\), ta được:

\(n\in\{0;1;3;4;5;8\}\).

Vậy \(n\in\{0;1;3;4;5;8\}\).

Ta có:

\(5n-8=-5(4-n)+12\)

Vì \(5n-8\) chia hết cho \(4-n\) nên \(12\) chia hết cho \(4-n\).

Suy ra \(4-n\in\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\}\).

Vì \(n\in\mathbb{N}\) và \(n\ne4\), ta được:

\(n\in\{0;1;2;3;5;6;7;8;10;16\}\).

Vậy \(n\in\{0;1;2;3;5;6;7;8;10;16\}\).

Ta có:

\(n^2+3n+6=n(n+3)+6\)

Vì \(n^2+3n+6\) chia hết cho \(n+3\) nên \(6\) chia hết cho \(n+3\).

Suy ra \(n+3\in\{1;2;3;6\}\).

Vì \(n\in\mathbb{N}\) nên \(n+3\ge3\).

Do đó \(n+3\in\{3;6\}\).

Suy ra \(n\in\{0;3\}\).

Vậy \(n\in\{0;3\}\).

Lời giải:

$2n^2-n+4\vdots 2n+1$

$\Rightarrow n(2n+1)-2n+4\vdots 2n+1$
$\Rightarrow n(2n+1)-(2n+1)+5\vdots 2n+1$

$\Rightarrow (2n+1)(n-1)+5\vdots 2n+1$

$\Rightarrow 5\vdots 2n+1$

$\Rightarrow 2n+1\in \left\{1;5\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{0; 2\right\}$

dài quá mình ko làm hết.