P/s: nói trước là tớ ko chắc đúng đâu nhé ;)

Đặt \(A=x^4-x^2+2x+2\)

\(A=x^2\left(x^2-1\right)+2\left(x+1\right)\)

\(A=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)

\(A=\left(x+1\right)\left[x^2\left(x-1\right)+2\right]\)

\(A=\left(x+1\right)\left(x^3-x^2+2\right)\)

\(A=\left(x+1\right)\left(x^3-2x^2+x^2+2\right)\)

\(A=\left(x+1\right)\left[x^2\left(x+1\right)-2\left(x^2-1\right)\right]\)

\(A=\left(x+1\right)\left[x^2\left(x+1\right)-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right]\)

\(A=\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left[x^2-2\left(x-1\right)\right]\)

\(A=\left(x+1\right)^2\left(x^2-2x+2\right)\)

Dễ thấy \(\left(x+1\right)^2\)là số chính phương nên để A là số chính phương thì \(x^2-2x+2\)là số chính phương

Đặt \(x^2-2x+2=k^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+1-k^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-k^2=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-k-1\right)\left(x+k-1\right)=-1\)

TH1 :\(\hept{\begin{cases}x-k-1=1\\x+k-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-k=2\\x+k=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}}\)( thỏa mãn )

TH2 :\(\hept{\begin{cases}x-k-1=-1\\x+k-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-k=0\\x+k=2\end{cases}\Leftrightarrow x=k=1}}\)( thỏa mãn )

Vậy x = 1 thì A là số chính phương

bn lm sai bước cuối thì phải

a)

Xét x=0 => A = 1 không là số nguyên tố

Xét x=1 => A= 3 là số nguyên tố (chọn)

Xét x>1

Có A = x¹⁴+ x¹³ + 1 = x¹⁴ - x² + x¹³ - x + x² + x + 1

A = x²(x¹²-1) + x(x¹²-1) + x²+x+1

A = (x²+x)(x^3*4-1) + x² + x + 1

Có x^3*4 chia hết cho x³

=> x^3*4-1 chia hết cho x³ - 1 = (x-1)(x²+x+1)

=> x^3*4-1 chia hết cho x²+x+1

=>A chia hết cho x²+x+1 mà x²+x+1 >0 (do x>1)

=> A là hợp số với mọi x > 1 (do A chia hết cho x²+x+1)

A = x^4 - x^2 + 2x + 2 = (x^4 - x^2) + (2x + 2)
= x^2(x^2 - 1) + 2(x + 1) = x^2(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x^3 - x^2 + 2)
= (x + 1)[(x^3 + 1) - (x^2 - 1)]
= (x + 1)[(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x - 1)(x + 1)]
= (x + 1)^2.(x^2 - 2x + 2)
= (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1]
Với x = - 1 => A = 0 (nhận)
Với x # -1
Ta có : A = k^2 với k là số tự nhiên
=> (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1] = k^2
=> (x - 1)^2 + 1 phải là số chính phương
=> (x - 1)^2 + 1 = m^2 (với m là số tự nhiên và m^2 >= 1<=> m > 0)
<=> (x - 1)^2 - m^2 = - 1
<=> (x - 1 - m)(x -1 + m) = -1 = 1.(-1)
Vì m > 0 => x - 1 + m > x - 1 - m
x , m nguyên => x - 1 - m và x - 1 + m là số nguyên
=> x - 1 + m = 1 và x - 1 - m = -1
<=> x + m = 2 và x - m = 0
<=> x = m = 1
=> A = 1^4 - 1^2 + 2.1 + 2 = 4 là số chính phương vói x = 1
Vậy x = 1 và x = -1 thì A là số chính phương

Phương trình thì phải có hai vế chứ

không nhìn đề ak.đa bảo là số chính phương thì vế trái của nó là 1 sô chính phương hay nói cách khác là =k²

Giải:

Vì biểu thức đã cho là 1 số chính phương \(\Rightarrow\) Ta đặt \(x^2+2x+200=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(x^2+2x+1\right)=199\Leftrightarrow k^2-\left(x+1\right)^2=199\)

\(\Leftrightarrow\left(k-x-1\right)\left(k+x+1\right)=199\) (Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\))

Mà \(199\) là số nguyên tố và \(x\in N\) nên: \(\hept{\begin{cases}k-x-1=1\left(1\right)\\k+x+1=199\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy \(\left(2\right)-\left(1\right)\Leftrightarrow x=98\)