Câu a:

xy + 3x - y = 6

(xy + 3x) - (y + 3) = 6 - 3

x(y+ 3) - (y + 3) = 3

(y + 3).(x -1) = 3

Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có:

(x; y) = (-2; -4); (0; - 6); (2; 0); (4; -2)

Vậy (x ;y) = (-2; -4); (0; -6); (2; 0); (4; -2)

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề số nguyên tố, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

Giải:

x^2 - 2y^2 = 1

x^2 = 2y^2 + 1

+ Nếu x = 2 thì:

2^2 = 2y^2 + 1

2y^2 + 1 = 4

2y^2 = 4 - 1

2y^2 = 3

y^2 = 3/2 (loại)

+ Nếu x = 3 thì: 3^2 = 2.y^2 + 1

2y^2 = 9 - 1

2y^2 = 8

y^2 = 8 : 2

y^2 = 4

y = 2^2

y = - 2 hoặc y = 2

Vì y là số nguyên tố nên y = 2

+ Nếu x> 3 thì vì x là số nguyên tố nên x không chia hết cho 3

x^2 = 2y^ + 1

x^2 là số chính phương mà x không chia hết cho 3 nên x^2 chia 3 dư 1(tính chất số chính phương) nên:

x^2 = 3k + 1 (1)

Thay (1) vào x^2 = 2y^2 + 1 ta có:

3k + 1 = 2y^2 + 1

3k = 2y^2

y ⋮ 3 mà y là số nguyên tố nên y = 3

Thay y = 3 vào x^2 = 2y^2 + 1 ta có:

x^2 = 2.3^2 + 1

x^2 = 2.9 + 1

x^2 = 18 + 1

x^2 = 19 (vô lí vì 19 : 4 dư 3 mà số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư)

Vậy cặp số nguyên tố x; y duy nhất thỏa mãn đề bài là:

(x; y) = (3; 2)

Ta có: 3x² + 1 = 19y²

<=> 19y² - 3x² = 1 (1)

Do VP = 1 là số lẻ => VT = 19y² - 3x² lẻ

=> 19y² chẵn và 3x² lẻ hoặc 19y² lẻ và 3x² chẵn

Nếu 19y² chẵn và 3x² lẻ => y² chẵn  vì y nguyên tố => y = 2 và x² lẻ => x lẻ

Với y = 2 thay vào (1) <=> 19.2² - 3x² = 1

<=> 75 = 3x²

<=> x² = 25

<=> x = 5 (tm vì x nguyên tố) hoặc x = -5 (ktm)

Nếu 19y² lẻ  và 3x² chẵn => y² lẻ và x² chẵn 

vì x nguyên tố => x = 2 và y lẻ

Thay x = 2 vào (1)

=> 19y² - 3.2² = 1

<=> 19y² = 13

<=> y² = 13/19 (không là số chính phương)

=> không có giá trị y nguyên tố tm

Vậy x = 5 và y = 2