\(k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\) là số chính phương

\(\Rightarrow k^2=m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\ge0\)

Lập bảng xét dấu

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-2\le m\le0\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(TH1:\) \(-2\le m\le0\Rightarrow m\in\left\{-2;-1;0\right\}\) thỏa mãn \(k^2=0\ge0\)

\(TH2:\) \(m>0\)

\(k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\)

\(d=UC\left(m+1;m^2+2m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1⋮d\\m^2+2m⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m^2+2m-2\left(m+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow m^2+2m-2m-1⋮d\)

\(\Rightarrow-1⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\) là số chính phương khi chúng là số chính phương.

Ta lại có :

\(\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)=m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\) là tích của 3 số liên tiếp nhau không phải là số chính phương khi m>0

Vậy \(m\in\left\{-2;-1;0\right\}\) thỏa mãn đề bài

hello

a) Giả sử f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0 <=> 0.a+0.b+c=2010 => c=2010
f(1)-f(0)=1 <=> f(1) =2011 <=> a+b+c=2011=> a+b=1(1)
f(-1)-f(1)=1 <=> f(-1)=2012<=> a-b+c=2012 => a-b=2(2)
Từ (1), (2), (3) => a=3/2,b=-1/2,c=2010
=> f(x)=3/2.x²-1/2.x+2010
=>f(2)=3/2.4-1/2.2+2010=2015 (đpcm)

b) f(2m)-f(2)-f(0)=5m²-3m-1
3/2.4m²-1/2.2m+2010-2015-2010=5m²-3m-1
<=>6m²-m-2015=5m²-3m-1
<=>m²+2m-2014=0
<=> \(\orbr{\begin{cases}m=-1+\sqrt{2015}\\m=-1-\sqrt{2015}\end{cases}}\)
=> Không có số chính phương m thỏa mãn

Mình góp ý chút nhé số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nhé =))

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.

Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.

Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$

$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$

$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.

Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.

Đặt $a=k-x-y>0$.

Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.

Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),

suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.

Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.

Do đó: $x=y$.

a, M=3+3²+...+3²⁰¹⁶=3(1+3+...+3²⁰¹⁵) chia hết cho 3 (1)

CÓ: M=3+3²+...+3²⁰¹⁶=3+3²(1+...+3²⁰¹⁴)=3+9(1+...+3²⁰¹⁴)

Vì 9(1+...+3²⁰¹⁴) chia hết cho 9, 3 không chia hết cho 9

=>M=3+9(1+...+3²⁰¹⁴) không chia hết cho 9 (2)

Từ (1) và (2) => M không phải là số chính phương

b, M=3+3²+...+3²⁰¹⁶

=(3+3²+3³+3⁴)+....+(3²⁰¹³+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶)

=3(1+3+3²+3³)+...+3²⁰¹³(1+3+3²+3³)

=3.40+...+3²⁰¹³.40

=40(3+...+3²⁰¹³) chia hết cho 40

=>M có chữ số tận cùng là 0

=>M không phải là số nguyên tố

c, Vì M chia hết cho 3 => 6M chia hết cho 3

Mà 9 chia hết cho 3 => 6M+9 chia hết cho 3 (3)

Ta có: M=3(1+3+...+3²⁰¹⁵)

=>6M=9.2(1+3+...+3²⁰¹⁵) 

=> 6M chia hết cho 9

Mà 9 chia hết cho 9

=> 6M+9 chia hết cho 9 (4)

Từ (3) và (4) => 6M+9 là số chính phương

d, Ta có: M=3+3²+...+3²⁰¹⁶

=>3M=3²+3³+...+3²⁰¹⁷

=>3M-M=(3²+3³+...+3²⁰¹⁷)-(3+3²+...+3²⁰¹⁶)

=>2M=3²⁰¹⁷-3

=>6M+9=3(3²⁰¹⁷-3)+9=3(3²⁰¹⁷-3+3)=3.3²⁰¹⁷=3²⁰¹⁸=3^x+5

=>x+5=2018

=>x=2013