a) Giả sử f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0 <=> 0.a+0.b+c=2010 => c=2010
f(1)-f(0)=1 <=> f(1) =2011 <=> a+b+c=2011=> a+b=1(1)
f(-1)-f(1)=1 <=> f(-1)=2012<=> a-b+c=2012 => a-b=2(2)
Từ (1), (2), (3) => a=3/2,b=-1/2,c=2010
=> f(x)=3/2.x²-1/2.x+2010
=>f(2)=3/2.4-1/2.2+2010=2015 (đpcm)

b) f(2m)-f(2)-f(0)=5m²-3m-1
3/2.4m²-1/2.2m+2010-2015-2010=5m²-3m-1
<=>6m²-m-2015=5m²-3m-1
<=>m²+2m-2014=0
<=> \(\orbr{\begin{cases}m=-1+\sqrt{2015}\\m=-1-\sqrt{2015}\end{cases}}\)
=> Không có số chính phương m thỏa mãn

Mình góp ý chút nhé số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nhé =))

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.

Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.

Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$

$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$

$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.

Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.

Đặt $a=k-x-y>0$.

Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.

Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),

suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.

Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.

Do đó: $x=y$.

Tham khảo nha.

Ghi tham khảo lên đầu đi bà zà 🙂

Giả sử m;n;p không có số nào chia hết cho 3

=> m ; n;p có dạng 3k +1 hoặ 3k + 2 (k thuộc N) 

=> m^2;n^2;p^2 có dạng 3x + 1(X thuộc N)

=> n^2 + p^2 cia 3 dư 2

Mà m^2 chia 3 dư 1 

=> m^2 khác n^2 + p^2 ( trái vói giả thiết )

Vậy m;n;p có ít nhất1 số chia hết cho 3

=>m*n*p chia hết cho 3                                (1)

Chứng minh tương tự :

m*n*p chia hếu cho 5                                    (2)

Từ (1) và (2) và  (3;5)=1

=>m*n*p chia heetscho 3*5 =15

1) Giả sử: \(9x+5=n\left(n+1\right)\left(n\in Z\right)\)

\(36x+20-4n^2+4n\)

\(\Rightarrow36x+21=4n^2+4n+1\)

\(\Rightarrow3\left(12x+7\right)=\left(2n+1\right)^2\)

\(\left(2n+1\right)^2\)là số chính phương nên sẽ chia hết cho 3 => (2n+1)² chia hết cho 9

Lại có: 12x+7 ko chia hết cho 3 => 3(12x+7) ko chia hết cho 9

Chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x+5=n(n+1)

2) Ta có: xy + 3x - y = 6 =>x(y+3) - y = 6 

=>x(y+3) - y - 3 = 3 =>x(y+3) - (y+3) = 3

=> (y+3)(x-1) =3

Vì x, y là các số nguyên nên y+3;x-1 là các số nguyên

Ta có bảng sau: