Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\hept{1\begin{cases}a+b=x\\c+d=y\end{cases}}\)thì ra cần chứng minh
\(xy+4\ge2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\ge0\)
Mà ta có
\(\hept{\begin{cases}x=a+b\ge2\sqrt{ab}=2\\y=c+d\ge2\sqrt{cd}=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)ĐPCM
\(\sqrt{2012}=\left(abc+bcd-a-d\right)+\left(cda+dab-c-b\right)\)
\(=\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\)
\(\Rightarrow2012=\left[\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\right]^2\)
\(\le\left[\left(bc-1\right)^2+\left(c+b\right)^2\right]\left[\left(a+d\right)^2+\left(ad-1\right)^2\right]\)
\(=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\left(d^2+1\right)\)
Ta có \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2}\)
\(\frac{d}{1+a^2}\ge d-\frac{ad}{2}\)
Lại có \(ab+bc+cd+da\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\)
Do đó \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac{ab+bc+cd+da}{2}\)
\(\ge4-\frac{4}{2}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=d=1\)
Ta có: \(a^2+b^2+\left(a+b\right)^2=c^2+d^2+\left(c+d\right)^2\)
=> \(a^2+b^2+a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+c^2+d^2+2cd\)
=> \(a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd\)
=> \(\left(a^2+b^2+ab\right)^2=\left(c^2+d^2+cd\right)^2\)
=> \(a^4+b^4+a^2b^2+2a^2b^2+2a^3b+2b^3a=c^4+d^4+c^2d^2\)
\(+2c^2d^2+2c^3d+2cd^3\)
=> \(2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3=2c^4+2d^4+6c^2d^2\)
\(+4c^3d+4cd^3\)
=> \(a^4+b^4+\left(a+b\right)^4=c^4+d^4+\left(c+d\right)^4\)
=> đpcm
PT vô nghiệm <=> 0 < a < b
=> c > 0 và 4ac > b2
=> 4ac - 2bc + c2 > b2 - 2bc + c2 = (b - c)2
=> 4ac - 2bc + c2 > 0
=> 4a - 2b + c > 0
=> a + b + c > -3a + 3b
=> (a + b + c)/(b - a) > 3 (ĐPCM)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 4 số ta có:
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+d}+1.\sqrt{d+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(2\left(a+b+c+d\right)\right)=8\)
\(\Rightarrow\)\(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+d}+1.\sqrt{d+a}\le2\sqrt{2}\)
Xảy ra đẳng thức khi \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}=\frac{1}{\sqrt{b+c}}=\frac{1}{\sqrt{c+d}}=\frac{1}{\sqrt{d+a}}\)và a + b + c + d = 1 <=> a = b = c = d = 1/4
Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2=4a(b+c+d)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+a^2=0\)
\(\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+a^2=0\)
Dễ thấy $(a-2b)^2; (a-2c)^2; (a-2d)^2; a^2\geq 0$ với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{R}$. Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((a-2b)^2=(a-2c)^2=(a-2d)^2=a^2=0\Rightarrow a=b=c=d=0\)