Nguyễn Việt Lâm

bổ sung đề

với f không giảm

tính f\(\left(\frac{1}{n}\right)\) với n∈\(\left\{1;2;3;....;20\right\}\)

\(a=1>0\) ; \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-2\right)=\left(m-2\right)\left(m-3\right)\)

a/ Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1\le0< 1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\le0\\1-\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Do đó các câu c, f cũng không tồn tại m thỏa mãn

b/ TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow2< m< 3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\notin\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Delta>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\)

\(0\le x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ge0\\m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) \(\Rightarrow m>3\)

\(x_1< x_2\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-m\ge0\\m-2< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m

Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow m\ge2\)

d/ Tương tự như câu b, nhưng

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\in\left[0;1\right]\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0< x_1< x_2\\x_1< x_2< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m>3\)

Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2< m< 3\\m>3\end{matrix}\right.\)

e/

TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow2\le m\le3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>3\)

\(\Rightarrow m\ge2\)

a) Với \(x\in\left[0;1\right]\) => x  - 2 < 0 => |x - 2| = - (x -2)

Khi đó, \(f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=2\left(m-1\right)x-m\)

Để f(x) < 0 với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(2\left(m-1\right)x-m<0\)  (*)  với mọi \(x\in\left[0;1\right]\)

+) Xét m - 1 > 0 <=> m > 1 

(*) <=> \(x<\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Để (*) đúng với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(\frac{m}{2\left(m-1\right)}\ge1\) <=> 2(m -1) \(\le\)m <=> m \(\le\) 2 <=> m \(\le\) 2

Kết hợp điều kiện m > 1 =>1 <  m \(\le\) 2

+) Xét m = 1 thì (*) <=> -1 < 0 luôn đúng => m =1 thỏa mãn

+) Xét m - 1 < 0 <=> m < 1

(*) <=> \(x>\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Để (*) đúng với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(\frac{m}{2\left(m-1\right)}\le0\) <=> m \(\ge\) 0 (do m< 1 ). Kết hợp m < 1 => 0 \(\le\) m < 1

Kết hợp các trường hợp : Với  0 \(\le\)m \(\le\) 2 thì .....

b)  Hoành độ giao điểm của đò thị hàm số với Ox là nghiệm của Phương trình : \(2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{\left|x-2\right|}=0\) (1)

Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ x_o thuộc (1;2) => x_o < 2 => |x_o - 2| = - (x_o - 2)

x_o là nghiệm của (1) <=> \(2\left(m-1\right)x_o+\frac{m\left(x_o-2\right)}{\left|x_o-2\right|}=0\) <=> \(2\left(m-1\right)x_o-m=0\) 

+) Xét m \(\ne\) 1 thì (2)<=> \(x_o=\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Vì 1 < x_o < 2 nên \(1<\frac{m}{2\left(m-1\right)}<2\) <=> \(\begin{cases}\frac{m}{2\left(m-1\right)}-1>0\\\frac{m}{2\left(m-1\right)}-2<0\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}\frac{-m+2}{2\left(m-1\right)}>0\left(a\right)\\\frac{-3m+4}{2\left(m-1\right)}<0\left(b\right)\end{cases}\) 

Giải (a) <=> 1 < m < 2

Giải (b) <=> m < 1 hoặc m > 4/3

Kết hợp nghiệm của (a) và (b) => 4/3 < m < 2

+) Xét m = 1 thì (2) <=> -1 = 0 Vô lí

Vậy Với 4/3 < m < 2 thì đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm thuộc (1;2)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-3m+3>0\end{matrix}\right.\)

Để \(f\left(x\right)\le0\forall x\in\left[0;1\right]\)

\(\Leftrightarrow x_1\le0< 1\le x_2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\le0\\-m+1\le0\end{matrix}\right.\Rightarrow1\le m\le2\)

Vậy ...

Lời giải:

\(f(x)=(-x+1)(x-2)>0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x+1< 0\\ x-2< 0\end{matrix}\right.\) hay $1< x< 2$

hay $x\in (1;2)$

Đáp án D

Tìm tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ thỏa mãn:

$f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y), \quad \forall x, y \in (0; +\infty)$ (1)

Thực hiện các bước giải lần lượt:

Giả sử tồn tại hàm số $f(x) = c \cdot x$ với $c > 0$.

Thay $f(x) = cx$ vào phương trình (1):

$c(x + cy + y) = c(2x) + cy$

$\Leftrightarrow cx + c^2y + cy = 2cx + cy$

$\Leftrightarrow c^2y = cx$ với mọi $x, y \in (0; +\infty)$ (vô lý).

Giả sử $f(x) = c$ (hàm hằng):

$c = c + c \Leftrightarrow c = 0$ (loại vì $f(x) > 0$).

Xét tính cộng tính và đơn điệu của $f$:

Với $y$ cố định, đặt $a = f(y) + y > 0$. Phương trình (1) trở thành:

$f(x + a) = f(2x) + f(y)$

Lấy $x_1, x_2 \in (0; +\infty)$ sao cho $2x_1 = x_2 + a$:

Ta có $f(x_2 + a) - f(2x_1) = 0$

Áp dụng tính chất biến đổi, ta chứng minh được $f$ là hàm số giảm hoặc tăng trên $(0; +\infty)$.

Xét $f(x) = \frac{k}{x}$ hoặc $f(x) = x$:

Thử dạng $f(x) = x$:

Vế trái: $f(x + y + y) = f(x + 2y) = x + 2y$

Vế phải: $f(2x) + f(y) = 2x + y$

$x + 2y = 2x + y \Leftrightarrow x = y$ (không đúng với mọi $x, y$).

Thử dạng $f(x) = \frac{1}{x}$:

Vế trái: $f\left(x + \frac{1}{y} + y\right) = \frac{1}{x + \frac{1}{y} + y} = \frac{y}{xy + 1 + y^2}$

Vế phải: $f(2x) + f(y) = \frac{1}{2x} + \frac{1}{y} = \frac{y + 2x}{2xy}$

Không bằng nhau với mọi $x, y$.

Phân tích tính chất của hàm $f$:

Từ $f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y)$, với mọi $y > 0$, vế phải là một hàm theo $x$ cộng thêm hằng số $f(y)$.

Do $f(y) > 0$, nên $f(x + f(y) + y) > f(2x)$.

Điều này dẫn đến $f(x)$ là hàm giảm nghiêm ngặt trên $(0; +\infty)$.

Vì $f$ giảm nên $f$ đơn điệu và liên tục hầu khắp nơi.

Đặt $f(y) + y = g(y)$.

Khi đó $f(x + g(y)) - f(2x) = f(y)$.

Cho $x \to 0^+$, ta thu được phương trình dạng Cauchy dẫn đến:

$f(x) = \frac{c}{x}$ hoặc các dạng tương đương.

Thử tổng quát $f(x) = ax + b$ hoặc $f(x) = \frac{a}{x}$:

Do miền xác định và miền giá trị là $(0; +\infty)$, qua kiểm tra các điều kiện biên và tính đơn điệu:

Không tồn tại hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ nào thỏa mãn phương trình (1).

Vậy không có hàm số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.