Vì \(x\ge1\Rightarrow x^2\ge x\)

Từ đó: \(P\ge\frac{x}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{x}{z^2+x}=x\left[\frac{1}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{1}{z^2+x}\right]\)

\(\ge x\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2+x+z^2+x}=\frac{4x}{\left(x+y\right)^2+z^2+2x}\) (Cauchy Schwarz)

Lại có: \(\left(x+y\right)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=3\left(x+y+z\right)\)

\(\le3\sqrt{2\left[\left(x+y\right)^2+z^2\right]}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+z^2\le18\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{18+2x}=2-\frac{18}{x+9}\ge2-\frac{18}{1+9}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

Vậy Min(P) = 1/5 khi x = 1 ; y = 2 ; z = 3

 thì f(x) thỏa mãn được tất cả các điều kiện đã nêu

Theo giả thiết ta có : \(\begin{cases}\left(5x-y\right)+\left(x+2y\right)=2\left(2x+3y\right)\\\left(y+1\right)^2\left(x-1\right)^2=\left(xy+1\right)^2\end{cases}\)

                             \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\x+y=2\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\xy+x+y=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\x+y=2\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\y\left(5y\right)+5y+2y=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{10}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0,y=0\\x=-\frac{3}{4},y=-\frac{3}{10}\end{cases}\)

Tham khảo nhé :

Một dạng rất uen thuộc của lượng giác là tìm gtnn,ln bằng cách đặt ẩn là sinx và cosx

\(x^2+y^2-2x-4y+4=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sin\alpha=x-1\\\cos\alpha=y-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sin\alpha+1\\y=\cos\alpha+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\left(\sin\alpha+1\right)^2-\left(\cos\alpha+2\right)^2+2\sqrt{3}\left(\sin\alpha+1\right)\left(\cos\alpha+2\right)-2\left(\sin\alpha+1\right)-4\sqrt{3}\left(\sin\alpha+1\right)-4\left(\cos\alpha+2\right)-2\sqrt{3}\left(\cos\alpha+2\right)-3+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow P=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha-16\)

Ta đưa về góc 2 alpha để dễ xét

\(\Leftrightarrow P=\frac{1-\cos2\alpha}{2}-\frac{\cos2\alpha+1}{2}+\sqrt{3}\sin2\alpha-16\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{3}\sin2\alpha-\cos2\alpha-16\)

\(P=2\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)-16\)

\(\Rightarrow2.\left(-1\right)-16\le P\le2.1-16\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_{min}=-18;"="\Leftrightarrow2\alpha-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\\P_{max}=-14;"="\Leftrightarrow2\alpha-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Bạn tự thay vô x và y để xét dấu bằng nhé