Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow2x+3y+4=0\)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép quay Q \(\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=2+\left(x-2\right)cos45^0-\left(y-1\right)sin45^0\\y'=1+\left(x-2\right)sin45^0+\left(y-1\right)cos45^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}\left(x'-2\right)=x-2-\left(y-1\right)\\\sqrt{2}\left(y'-1\right)=x-2+y-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\sqrt{2}x'-2\sqrt{2}+1\\x+y=\sqrt{2}y'-\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x'+y'\right)-\frac{3\sqrt{2}}{2}+2\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(y'-x'\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\sqrt{2}\left(x'+y'\right)-3\sqrt{2}+4+\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(y'-x'\right)+\frac{3\sqrt{2}}{2}+3+4=0\)

\(\Leftrightarrow-x'+5y'-3+11\sqrt{2}=0\)

Vậy pt ảnh của d là: \(x-5y+3-11\sqrt{2}=0\)

a: Gọi M' là ảnh của M(3;5) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

Tọa độ M' là: \(\begin{cases}x_{M^{\prime}}=3+2=5\\ y_{M^{\prime}}=5+1=6\end{cases}\)

=>M'(5;6)

Gọi d' là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

(d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

=>(d'): 3x+2y+c=0

Lấy A(2;-1) thuộc (d)

=>ảnh A'(x;y) của A(2;-1) qua phép tịnh tiến theo vecto u=(2;1) sẽ thuộc (d')

Tọa độ ảnh A' là:

\(\begin{cases}x=2+2=4\\ y=-1+1=0\end{cases}\)

Thay x=4 và y=0 vào (d'), ta được:

3*4+2*0+c=0

=>c+12=0

=>c=-12

=>(d'): 3x+2y-12=0

b: (C): \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2+4y+4-9=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)

=>Bán kính là R=3; tâm là I(1;-2)

Tọa độ tâm I' của (C') là:

\(\begin{cases}x_{I^{\prime}}=-y_{I}=2\\ y_{I^{\prime}}=x_{I}=1\end{cases}\)

=>I'(2;1)

(C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>R'=R=3

Phương trình (C') là:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=3^2=9\)

a: Gọi A(x;y) là ảnh của M(1;-2) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của AM

=>\(\begin{cases}x+1=2\cdot\left(-3\right)=-6\\ y-2=2\cdot1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-7\\ y=4\end{cases}\)

=>A(-7;4)

b: Gọi (d): ax+by+c=0 là ảnh của Δ: 2x+y-1=0 qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

Lấy A(x;y) thuộc (d)

Gọi B(x';y') là ảnh của A(x;y) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của AB

=>\(\begin{cases}x^{\prime}+x=2\cdot\left(-3\right)=-6\\ y^{\prime}+y=2\cdot1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-6-x^{\prime}\\ y=2-y^{\prime}\end{cases}\)

Thay x=-6-x' và y=2-y' vào Δ, ta được:

2(-6-x')+(2-y')-1=0

=>-12-2x'+2-y'-1=0

=>-2x'-y'-11=0

=>(d): 2x+y+11=0

c: (C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\)

=>Tâm là A(2;-3) và bán kính là R=3
Gọi A'(x;y) là ảnh của A(2;-3) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của A'A

=>x+2=2*(-3)=-6 và y+(-3)=2*1=2

=>x=-8 và y=5

Phương trình (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(-3;1) là:

\(\left\lbrack x-\left(-8\right)\right\rbrack^2+\left(y-5\right)^2=R^2\)

=>\(\left(x+8\right)^2+\left(y-5\right)^2=9\)

1) b) cos5x + cos3x + cosx = 0

<=> (cos5x + cos3x) + cosx = 0

<=> 2.cos4x.cos(-x) + cosx = 0

<=> cosx (2cos4x + 1) = 0

<=> cosx = 0 or 2cos4x + 1 = 0

<=> x = π/2 + kπ or cos4x = 1/2

<=> x = π/2 + kπ or 4x = \(\pm\)π/3 + kπ

<=> x = π/2 + kπ or x = \(\pm\)π/12 + kπ/4 (k thuộc Z)

Vậy ...

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (Δ): 2x-3y+6=0 qua phép vị tự tâm I(2;1); tỉ số k=1

=>(d1)//(Δ)

=>(d1): 2x-3y+c=0

Lấy A(3;4) thuộc (Δ)

Gọi B(x;y) là ảnh của A(3;4) qua phép vị tự tâm I(2;1); tỉ số k=1

=>\(\overrightarrow{IB}=1\cdot\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IA}\)

=>B trùng với A

=>B(3;4)

=>(Δ) trùng với (d1)

=>(Δ): 2x-3y+6=0

a, Gọi M(3 ; 6) ∈ d. Gọi \(T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M'\) 

⇒ \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}=\left(4;-3\right)\)

⇒ M' (7 ; 3)

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d'\) ⇒ d' // d và d' đi qua M' (7 ; 3)

⇒ d' : 2x - 3y - 5 = 0

b, làm tương tự 

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 4x-3y+12=0 qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+4y+c=0

Lấy A(3;8) thuộc (d)

Lấy B(x;y) là ảnh của A(3;8) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Tọa độ B là;

\(\begin{cases}x_{B}=-y_{A}=-8\\ y_{B}=x_{A}=3\end{cases}\)

Thay x=-8 và y=3 vào (d1), ta được:

3*(-8)+4*3+c=0

=>-24+12+c=0

=>c-12=0

=>c=12

=>(d1): 3x+4y+12=0

a:Gọi (d1) là ảnh của (d): 2x+3y-4=0 qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): -3x+2y+c=0

Lấy A(2;0) thuộc (d)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(2;0) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=0\\ y_{A}=x_{A}=2\end{cases}\)

Thay x=0 và y=2 vào (d1), ta được:

\(-3\cdot0+2\cdot2+c=0\)

=>c+4=0

=>c=-4

=>(d1): -3x+2y-4=0

(C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=4\)

=>Tâm là I(1;-2) và bán kính là R=2

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

Gọi I'(x;y) là tâm của (C')

Tọa độ I' là:

\(\begin{cases}x=-y_{I}=2\\ y=x_{I}=1\end{cases}\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=R^2=4\)

b: Gọi (d1) là ảnh của (d): 2x+3y-4=0 qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): -3x+2y+c=0

Lấy A(2;0) thuộc (d)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(2;0) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=y_{A}=0\\ y_{A}=-x_{A}=-2\end{cases}\)

Thay x=0 và y=-2 vào (d1), ta được:

\(-3\cdot0+2\cdot\left(-2\right)+c=0\)

=>c-4=0

=>c=4

=>(d1): -3x+2y+4=0

(C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=4\)

=>Tâm là I(1;-2) và bán kính là R=2

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Gọi I'(x;y) là tâm của (C')

Tọa độ I' là:

\(\begin{cases}x=y_{I}=-2\\ y=-x_{I}=-1\end{cases}\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=R^2=4\)