Đa thức x² - 3x + 2 có nghiệm \(\Leftrightarrow\)x² - 3x + 2 = 0

\(\Leftrightarrow x^2-2x-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

1 và 2 là hai nghiệm của đa thức x² - 3x + 2

Để f(x) = x⁴ + ax³ + bx - 1  chia hết cho x² - 3x + 2 thì 1 và 2 cũng là hai nghiệm của đa thức f(x) = x⁴ + ax³ + bx - 1

Nếu x = 1 thì \(1+a+b-1=0\Leftrightarrow a+b=0\)(1

Nếu x = 2 thì \(16+8a+2b-1=0\Leftrightarrow4a+b=\frac{-15}{2}\)(2)

Lấy (2) - (1), ta được: \(3a=\frac{-15}{2}\Leftrightarrow a=\frac{-5}{2}\)

\(\Rightarrow b=0+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}\)

Vậy \(a=\frac{-5}{2};b=\frac{5}{2}\)

Giao luu vấn đề mới

x=1, -2 là nghiệm

\(\hept{\begin{cases}a-\left(a+1\right)-\left(2b+1\right)+3b=0\\-8a-2\left(a+1\right)+2\left(2b+1\right)+3b=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\-10a+7b=0\Rightarrow a=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\end{cases}}\)

Gọi thương khi chia f(x) cho x^2-4 là Q(x), ta có;

x^4+ax+b=(x+2)(x-2).Q(x)

Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho x=-2,x=2 ta được:

<=> 16−2a+b=0 và 16+2a+b=0

<=> -2a+b=-16 và 2a+b=-16

<=> a=0 và b=-16

Vậy với a=0;b=-16 thì f(x) chia hết cho \(x^2\)- 4

Thực hiện phép chia \(x^4+ax+b\div x^2-4\)ta được số dư là ax + b + 16

Để  \(x^4+ax+b⋮x^2-4\)=> ax + b + 16 \(⋮x^2-4\)

=> \(\hept{\begin{cases}ax=0\\b+16=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}}\)

Mình có nghĩ ra cách này mọi người xem giúp mình với

f(x) = \(ax^2+bx+c\) 

Ta có f(0) = 2 => c = 2

Ta đặt Q(x) = \(ax^2+bx+c-2020\)

và G(x) = \(ax^2+bx+c+2021\)

f(x) - 2020 chia cho x - 1 hay Q(x) chia cho x - 1 được số dư

\(R_1\) = Q(1) = \(a.1^2+b.1+c-2020=a+b+c-2020\)  

Mà Q(x) chia hết cho x-1 nên \(R_1\) = 0

hay \(a+b+c-2020=0\). Mà c = 2 => a + b = 2018 (1)

G(x) chia cho x + 1 số dư 

\(R_2\) = G(-1) = \(a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c+2021=a-b+2+2021\)

Mà G(x) chia hết cho x + 1 nên \(R_2\)=0

hay \(a-b+2+2021=0\) => \(a-b=-2023\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)

ko biết !!!

Do \(f\left(x\right)\) có bậc 4 ,\(y\left(x\right)\) có bậc 2 nên đa thức thương\(Q\left(x\right)\) có bậc cao nhất là 2 
Đặt \(Q\left(x\right)=6x^2+cx+d\)
có f(x)=\(6x^4-7x^3+ax^2+3x+2\)y(x).Q(x)=\(\left(x^2-x+b\right)\left(6x^2+cx+d\right)=6x^4+x^3\left(c-6\right)+x^2\left(a-c+6b\right)-x\left(a+bc\right)+bd\)
Đống nhất thức 2 vế ta được \(\hept{\begin{cases}6=6\\-7=c-6\\a=a-c+6b\end{cases},\hept{\begin{cases}3=-\left(a+bc\right)\\2=bd\end{cases}}}\)
giải hệ trên ta có\(\hept{\begin{cases}c=-1\\b=-\frac{1}{6}\\a=\frac{19}{6},d=-12\end{cases}}\)
Vậy a=19/6, b=-1/6

xem cái đoạn nhân có nhân sai không @@
ĐÂY LÀ PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH NHÉ .
 

\(\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=\frac{ax^3+bx^2+10x-4}{x^2+x-2}\)

\(=\frac{a\cdot x^3+a\cdot x^2-2a\cdot x+\left(b-a\right)\cdot x^2+\left(b-a\right)\cdot x-2\left(b-a\right)+\left(10-b+3a\right)x+2\left(b-a\right)-4}{x^2+x-2}\)

\(=a\cdot x+\left(b-a\right)+\frac{\left(3a-b+10\right)x+2\left(b-a\right)-4}{x^2+x-2}\)

Để f(x) chia hết cho g(x) thì \(\begin{cases}3a-b+10=0\\ 2\left(b-a\right)-4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a-b=-10\\ b-a=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a-b=-10\\ a-b=-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}3a-b-a+b=-10+2\\ a-b=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2a=-8\\ b=a-\left(-2\right)=a+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-4\\ b=a+2=-4+2=-2\end{cases}\)

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)