Giả sử \(\sqrt{7}\)là số hữu tỉ.

Đặt \(\sqrt{7}=\frac{m}{n}\)( m ; n \(\in\) N*; ƯCLN (m;n ) = 1 )

\(\Rightarrow7=\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow m^2=7n^2\)

\(\Rightarrow m^2\)chia hết cho 7.

Mà 7 là  số nguyên tố nên \(m\)chia hết cho 7.

Đặt \(m=7k\left(k\in Z;k\ne0\right)\)thì có :

\(\left(7k\right)^2=7n^2\)

\(49k^2=7n^2\)

\(\Rightarrow7k^2=n^2\)

\(\Rightarrow n^2\)chia hết cho 7.

Mà 7 là số nguyên tố nên \(n\)chia hết cho 7.

Do đó cả m và n đều chia hết cho 7. Mà ƯCLN(m ; n ) = 1 \(\Rightarrow\)Vô lý.

Vậy \(\sqrt{7}\)là số vô tỉ.

7^(20k+15)=7^20k.7^8.7^7=01.1.43=43 ( dấu "=" là đồng dư tại ko viết dc 3 gạch )

7²⁰¹⁵ = 7²⁰¹².7³ = (7⁴)⁵⁰³.(....3) = (....1)⁵⁰³.(....3) = (...1).(...3) = (...3)

Vậy 7²⁰¹⁵ có tận cùng là 3

((7^7)^7)^7=7^343

((7^6)^6)^6=7^216

7^343/7^7^216=7^127

số tận cùng =9

Xét số A=7^x

với x=1 thì A tận cùng là 1

với x=2 thì A tận cùng là 4

với x=3 thì A tận cùng là 3

với x=4 thì A tận cùng là 1

.......

Theo phương pháp quy nạp ta chứng minh được với x=4k+3 (với mọi k thuộc tập số tự nhiên) thì A tận cùng là 3

Tức là với mọi số x tận cùng là 3 hoặc 7 thì 7^x sẽ tận cùng là 3

\(\Rightarrow\) \(M=7^7\) tận cùng là 3

\(\Rightarrow N=7^M\) tận cùng là 3

\(\Rightarrow P=7^N=7^{7^{7^7}}\) cũng tận cùng là 3

chữ số tận cùng là 3.

Không biết đúng hay sai tại ko chắc

7²⁰¹⁵ = (7⁴)⁵⁰³ . 7³ = 2401⁵⁰³ . 343 = .....01 . 343 = ...43

\(P=\left[\left(7^7\right)^7\right]^7\div\left[\left(7^6\right)^6\right]^6\)

\(P=7^{7.7.7}:7^{6.6.6}=7^{343}:7^{216}=7^{127}\)

Ta thấy rằng: 

( _7)⁴ⁿ = _1 ; ( _7)⁴ⁿ⁺¹ = _7 ; ( _7)⁴ⁿ⁺² = _9 ; ( _7)⁴ⁿ⁺³ = _3

Do 127 = 4.31 + 3 nên 7¹²⁷ có tận cùng là 3.

Vậy \(P=\left[\left(7^7\right)^7\right]^7\div\left[\left(7^6\right)^6\right]^6\) có tận cùng là chữ số 3.