1) Gọi tổng của 6 số tự nhiên đó là \(a+\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+\left(a+3\right)+\left(a+4\right)+\left(a+5\right)\)

Ta có \(a+\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+\left(a+3\right)+\left(a+4\right)+\left(a+5\right)\)

\(=6a+15\)

\(=6.a+12+3\)

\(=6.\left(x+2\right)+3\)

Vì \(6.\left(x+2\right)⋮6\)nên \(6.\left(x+2\right)+3\)chia 6 dư 3

Vậy tổng của 6 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 6

2) Ta có 3 là số lẻ nên 3²⁰¹⁸ là số lẻ

11 là số lẻ nên 11²⁰¹⁷ là số lẻ 

Do đó 3²⁰¹⁸-11²⁰¹⁷là số chẵn nên chia hết cho 2

3)\(n+4⋮n\)

có \(n⋮n\)nên để \(n+4⋮n\)thì \(4⋮n\)

\(\Rightarrow n\inƯ\left(4\right)=\left\{-1;1;-2;2;-4;4\right\}\)

4)\(3n+7⋮n\)

có \(3n⋮n\)nên để \(3n+7⋮n\)thì \(7⋮n\)

\(\Rightarrow n\inƯ\left(7\right)=\left\{-1;1;-7;7\right\}\)

A = 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4+ 7^5 + 7^6 + 7^7 + 7^8

Xét dãy số: 1; 2; 3;..; 8

Dãy số trên có 8 số hạng vậy A là tổng của 8 số lẻ nên A là số chẵn.

A = 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^5 + 7^6 + 7^7 + 7^8

7A = 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^5 + 7^6 + 7^7 + 7^8 + 7^9

7A - A = 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^5 + 7^6 + 7^7 + 7^8 + 7^9 - 7 - 7^2 - 7^3 - 7^4 -7^5 - 7^6 - 7^7 - 7^8

6A = (7^2 - 7^2) + (7^3 - 7^3) + ...+ (7^8 - 7^8) + (7^9-7)

6A = 0 + 0+ ..+ 0 + 7^9 - 7

6A = 7^9 - 7

6A = (7\(^4\))\(^2\).7 - 7

6A = \(\overline{..1}\)\(^2\).7 - 7

6A = \(\overline{..7}\) - 7

6A = \(\overline{..0}\)

A = \(\overline{..0}\) hoặc 5 vậy A ⋮ 5

Vì A chia hết cho 5 nên A có tận cùng là 0 hoặc 5 mà a là số chẵn nên A có tận cùng là 0..

x=1;y=2

\(x=0;y=1\)

C= 2 + 2² + 2³ + ....+ 2⁶⁰

C= (2 + 2²⁾ + (2³ +2⁴)+ ....+(2⁵⁹+ 2⁶⁰)

= 2(1+2)+2³(1+2)+......+2⁵⁹(1+2)

= 2.3+2³.3......+2⁵⁹.3

=3(2+2³.....+2⁵⁹) chia hết cho 3

+) C= 2 + 2² + 2³ + ....+ 2⁶⁰

^{= (}2 + 2² + 2³)  +⁽2⁴ + 2⁵ + 2⁶) +....+ (2⁴⁸+2⁴⁹+2⁶⁰) có 60:3 = 20 nhóm

= 2(1+2 + 2²)+2⁴(1+2 + 2²)+....+2⁴⁸(1+2 + 2²)

= 2.7+2⁴.7+....+2⁴⁸.7

= 7.(2+2⁴+....+2⁴⁸) chia hết cho 7

tương tự nhóm 4 số hạng thì được thừa số là 15 nên chia hết cho 15
CMR C : 3 , 7,15
 

\(5^x+5^{x+2}=650;5^x.26=650;5^x=25;x=2\)

\(2^x+2^{x+3}=144;2^x.9=144;2^x=16;x=4\)

\(3^{x-1}+5.3^{x-1}=162;3^{x-1}.6=162;3^{x-1}=27;x=4\)

\(\left(x-5\right)^4=\left(x-5\right)^6\)

\(\rightarrow x-5=0\&x-5=1\) hoặc x - 5 = - 1

\(x-5=1;x=6;x-5=0;x=5;x-5=-1;x=4\)

\(\left(2^2:4\right).2^n=4;2^n=2^2;n=2\)

nhìn hoa mắt luôn mà làm là đi bệnh viện

\(5^2+13+x^2=2^3\)

\(\Leftrightarrow38+x^2=8\)

\(\Leftrightarrow x^2=-30\)( loại vì x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0)

Vậy ko có giá trị x nào thỏa mãn dề bài 

5² + ( 13 + x² ) = 3²

25 + 13 + x² =9

x²  = -29 (vô lí) (vì x²>=0 với mọi x )

=> ko có già trị x thỏa mãn