Giả sử có 3 số nguyên là p;q;r sao cho \(p^q+q^p=r\)

Khi đó r > 3 nên r là số lẻ

=> p.q không cùng tính chẵn lẻ

Giả sử p=2 là q là số lẻ khi đó \(2^q+q^2=r\)

Nếu q không chia hết cho 3 thì q^2 =1 (mod3)

Mặt khác vì q lẻ nên \(2^q\)= -1(mod3)

Từ đó suy ra: \(2^q+q^2⋮3\Rightarrow r⋮3\)(vô lí)

Vậy q=3 lúc đó \(r=2^3+3^2=17\)là số nguyên tố

Vậy p=2; q=3, r=17 hoặc p=3; q=2, r=17

3;5;7 nha!

Bài 2 :

Tham khảo nha bạn !

Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

Vì a,b,c có vai trò như nhau. Giả sử a<b<c

Khi đó ab+bc+ca =< 3bc

=> abc<3bc => a<3 => a=2 (vì a là số nguyên tố)

Với a=2, ta có:

2bc < 2b+2c-bc =< 4c 

=> b<4 => b=2 hoặc b=3

Nếu b=2 thì 4c<2+4c thỏa mãn với c là số nguyên bất kì

Nếu b=3 thì 6c<6+5c => c<6 => c=3 hoặc c=5

Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là: (2;2;p);(2;2;3);(2;3;5) và các hoán vị của chúng với p là số nguyên tố

gia su:p<q<r

Xet so tu nhien a khong chia het cho 3

=>3k+1 hoac 3k+2 (kthuoc N*)

-voi a=3k+1

-voi a=3k+2

=> voi a khong chia het cho 3

=> a^2 khong chia het cho 3=>a^2 chia cho 3 (du1)

Do do: p^2+q^2+r^2 chia het cho 3

=> A:3 mà A>3 nên A là tập hợp số 

=>p^2+q^2+r^2 la hợp số

Vậy p=3;q=5;r=7

Cách 2: giả sử p>q>r làm tương tự

ba số nguyên tố liên tiếp là 3;5;7 vì 3^2+5^2+7^2=83 là một số nguyên tố