a: (x-2)(x+3)>0

TH1: \(\begin{cases}x-2>0\\ x+3>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>2\\ x>-3\end{cases}\Rightarrow x>2\)

TH2: \(\begin{cases}x-2<0\\ x+3<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<2\\ x<-3\end{cases}\)

=>x<-3

b: (2x-1)(-x+1)>0

=>(2x-1)(x-1)<0

TH1: \(\begin{cases}2x-1>0\\ x-1<0\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}x>\frac12\\ x<1\end{cases}\)

=>\(\frac12

TH2: \(\begin{cases}2x-1<0\\ x-1>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<\frac12\\ x>1\end{cases}\)

=>x∈∅

c: (x+1)(3x-6)<0

=>3(x+1)(x-2)<0

=>(x+1)(x-2)<0

TH1: \(\begin{cases}x+1>0\\ x-2<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-1\\ x<2\end{cases}\Rightarrow-1

TH2: \(\begin{cases}x+1<0\\ x-2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<-1\\ x>2\end{cases}\)

=>x∈∅

Phân tích và Phương pháp:

Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo ra hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau: $\angle AOC = \angle BOD$ và $\angle BOC = \angle AOD$.

Bốn góc này luôn có tổng bằng $360^{\circ}$:

Lời giải:

1. Xác định 3 góc có tổng $230^{\circ}$:
   Vì tổng của 4 góc là $360^{\circ}$, nên góc còn lại (góc không nằm trong tổng $230^{\circ}$) là: $$\text{Góc còn lại} = 360^{\circ} - 230^{\circ} = \mathbf{130^{\circ}}$$
2. Xác định góc $130^{\circ}$:
   Góc $130^{\circ}$ này phải là một trong bốn góc: $\angle AOC, \angle BOC, \angle BOD, \angle AOD$.
3. • Các cặp góc kề bù (như $\angle AOC$ và $\angle BOC$) có tổng là $180^{\circ}$. Nếu $130^{\circ}$ là $\angle AOC$ hoặc $\angle BOD$ (góc nhọn), thì góc kề bù của nó là $180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ (góc nhọn).
   • Nếu $130^{\circ}$ là $\angle BOC$ hoặc $\angle AOD$ (góc tù), thì góc kề bù của nó là $180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ (góc nhọn).
4. Kiểm tra các trường hợp:
5. • Nếu góc nhọn ($\angle AOC$ hoặc $\angle BOD$) là $130^{\circ}$ $\implies$ Vô lý (góc nhọn $\le 90^{\circ}$).
   • Vậy, góc $130^{\circ}$ phải là góc tù: $$\angle BOC = \angle AOD = \mathbf{130^{\circ}}$$
6. Tính góc còn lại:
   Góc $\angle AOC$ kề bù với $\angle BOC$: $$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle BOC$$ $$\angle AOC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = \mathbf{50^{\circ}}$$Theo tính chất đối đỉnh: $$\angle BOD = \angle AOC = \mathbf{50^{\circ}}$$

🎯 Kết quả:

Bốn góc là: $\mathbf{50^{\circ}}, \mathbf{130^{\circ}}, \mathbf{50^{\circ}}, \mathbf{130^{\circ}}$.

(Kiểm tra điều kiện: $50^{\circ} < 130^{\circ}$ (thỏa mãn) và $50^{\circ} + 130^{\circ} + 50^{\circ} = 230^{\circ}$ (thỏa mãn)

Giải :

Hình vẽ ; giả thiết, kết luận đã được đầu bài cho sẵn.

Chứng minh :

Xét \(\Delta AMC\text{ và }\Delta BMD\), có :

\(MA=MB\text{ (gt)}\)

\(\angle AMC=\angle DMB\text{ (đối đỉnh)}\)

\(DM=CM\text{ (gt)}\)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BMD\text{ (c.g.c)}\)

b/ Ta có : \(\bigtriangleup AMC=\bigtriangleup BMD\text{ (c.m.t)}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{ACM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (1)

\(\Rightarrow BD//AC\)

Xét \(\bigtriangleup DMA\text{ và }\bigtriangleup BMC,\text{ có :}\)

\(\widehat{DMA}=\widehat{BMC}\text{ (đối đỉnh)}\)

\(DM=CM\left(gt\right)\)

\(BM=AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\bigtriangleup DMA=\bigtriangleup BMC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{DCM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (2)

\(\text{Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành}\) (3)

\(\angle ACB=90^{\text{o}}\) (4)

\(\text{T}ừ\text{ (3) và (4) suy ra hình bình hành ABCD là hình chữ nhật}\) (đpcm)

📝 Chứng minh các Đẳng thức về Lũy Thừa

1. Đẳng thức thứ nhất: $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^2 \times (-a)^2]^5 = 0}$

Chứng minh:

Ta biến đổi từng thành phần của vế trái (VT).

A. Thành phần thứ nhất: $\mathbf{-a^5 \times (-a)^5}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa: $(-a)^5 = -a^5$ (vì số mũ là số lẻ). $$\mathbf{-a^5 \times (-a)^5} = -a^5 \times (-a^5)$$ $$= -(-a^{5+5})$$ $$= -(-a^{10})$$ $$= \mathbf{a^{10}}$$

B. Thành phần thứ hai: $\mathbf{[-a^2 \times (-a)^2]^5}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa: $(-a)^2 = a^2$ (vì số mũ là số chẵn). $$\mathbf{[-a^2 \times (-a)^2]^5} = [-a^2 \times a^2]^5$$ $$= [-a^{2+2}]^5$$ $$= [-a^4]^5$$
• Áp dụng quy tắc lũy thừa (số mũ 5 là số lẻ): $[-x]^5 = -x^5$ $$= -(a^4)^5$$ $$= -a^{4 \times 5}$$ $$= \mathbf{-a^{20}}$$

C. Tổng kết Vế Trái (VT):

Lưu ý quan trọng: Đẳng thức ban đầu có vẻ có lỗi gõ. Nếu đẳng thức được viết đúng là:

(Tức là $(-a^2)^5$ thay vì $(-a^2 \times (-a)^2)^5$, hoặc có lỗi mũ).

GIẢ SỬ đẳng thức được viết đúng là: $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^{10}] = 0}$ (Đây là giả định thường gặp trong các bài toán chứng minh sơ cấp khi có lỗi gõ)

• Thành phần 1: $-a^5 \times (-a)^5 = a^{10}$
• Thành phần 2: $-a^{10}$
• $VT = a^{10} + (-a^{10}) = \mathbf{0}$ (Đúng với Vế Phải (VP)).

KẾT LUẬN: Với cách viết nguyên bản $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^2 \times (-a)^2]^5 = a^{10} - a^{20}}$, đẳng thức không bằng 0 trừ khi $a=1$ hoặc $a=0$. Rất có thể đề bài có lỗi gõ và nên được sửa thành $\mathbf{a^{10} - a^{10} = 0}$.

2. Đẳng thức thứ hai: $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k} = (-a)^n \times a^k}$

Chứng minh:

Ta biến đổi Vế Trái (VT) và Vế Phải (VP) để so sánh.

A. Biến đổi Vế Trái (VT): $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k}}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa (số mũ chẵn): $(-a)^2 = a^2$. $$VT = a^2 \times a^{n-k}$$
• Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: $a^m \times a^p = a^{m+p}$. $$VT = a^{2 + (n-k)} = \mathbf{a^{n - k + 2}}$$

B. Biến đổi Vế Phải (VP): $\mathbf{(-a)^n \times a^k}$

• Sử dụng quy tắc nhân lũy thừa: $a^m \times a^p = a^{m+p}$. $$VP = (-a)^n \times a^k$$

C. So sánh:

Để $VT = VP$, ta cần có:

Điều này chỉ đúng khi:

1. Nếu n chẵn: $(-a)^n = a^n$.
2. • $VP = a^n \times a^k = a^{n+k}$.
   • Yêu cầu: $a^{n - k + 2} = a^{n+k} \implies n - k + 2 = n + k \implies 2 = 2k \implies \mathbf{k = 1}$.
   • Đẳng thức chỉ đúng khi $n$ chẵn và $k=1$ (hoặc $a=0$ hoặc $a=1$).
3. Nếu n lẻ: $(-a)^n = -a^n$.
4. • $VP = -a^n \times a^k = -a^{n+k}$.
   • Yêu cầu: $a^{n - k + 2} = -a^{n+k} \implies$ Vô lý (vì $a^{n - k + 2}$ luôn $\ge 0$ còn $-a^{n+k} \le 0$, chỉ bằng nhau khi $a=0$).

KẾT LUẬN: Đẳng thức $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k} = (-a)^n \times a^k}$ KHÔNG ĐÚNG trong trường hợp tổng quát. Đẳng thức chỉ đúng khi $n$ là số chẵn và $k=1$ (hoặc $a=0$ hoặc $a=1$). Rất có thể đây cũng là một lỗi gõ, và đẳng thức đúng cần phải là:

bài 1

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=>\frac{a+b+c}{b+c+a}=1=>a=b=c\)

bài 2

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{1}{a+b+c}\)

bài 1:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

=> \(\frac{a}{b}=1\)  

  \(\frac{b}{c}=1\)  

  \(\frac{c}{a}=1\)

=> a=b   (1)

b=c    (2)

c=a     (3)

=> a=b=c