Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\int\dfrac{xdx}{x^2+3}\)
Đặt \(u=x^2+3\left(u>0\right)\)
Có \(du=2xdx\)
\(\Rightarrow\int\dfrac{xdx}{x^2+3}=\)\(\int\dfrac{du}{2u}=\dfrac{1}{2}ln\left(u\right)=\dfrac{1}{2}ln\left(x^2+3\right)\)
a) \(I_1=\int\dfrac{dx}{x^2+2x+3}\)
\(=\int\dfrac{dx}{\left(x+1\right)^2+2}=\int\dfrac{d\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}arctan\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C\)
b) \(I_2=\int\dfrac{dx}{4x^2+4x+2}\)
\(=\int\dfrac{dx}{\left(2x+1\right)^2+1}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^2+1^2}\)
\(=\dfrac{1}{2}arctan\left(2x+1\right)+C\)
a) \(I_4=\int\dfrac{3x+5}{2x^2+x+10}dx\)
\(=\int\dfrac{\dfrac{3}{4}\left(4x+1\right)+\dfrac{17}{4}}{2x^2+x+10}dx=\dfrac{3}{4}\int\dfrac{\left(4x+1\right)dx}{2x^2+x+10}+\dfrac{17}{4}\int\dfrac{dx}{2x^2+x+10}\)
\(=\dfrac{3}{4}\int\dfrac{d\left(2x^2+x+10\right)}{2x^2+x+10}+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{x^2+\dfrac{x}{2}+5}\)
\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{79}{16}}\)
\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{79}{16}}\)
\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{d\left(x+\dfrac{1}{4}\right)}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{79}}{4}\right)^2}\)
\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}.\dfrac{4}{\sqrt{79}}arctan\left(\dfrac{4x+1}{\sqrt{79}}\right)+C\)
\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{2\sqrt{79}}arctan\left(\dfrac{4x+1}{\sqrt{79}}\right)+C\)
b) \(I_5=\int\dfrac{4x-1}{6x^2+9x+4}dx\)
\(=\int\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(12x+9\right)-4}{6x^2+9x+4}dx\)
\(=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{\left(12x+9\right)dx}{6x^2+9x+4}-4\int\dfrac{dx}{6x^2+9x+4}\)
\(=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{d\left(6x^2+9x+4\right)}{6x^2+9x+4}-4\int\dfrac{dx}{\left(3x+1\right)^2+3}\)
\(=\dfrac{1}{3}\ln\left(6x^2+9x+4\right)-\dfrac{4}{3}\int\dfrac{d\left(3x+1\right)}{\left(3x+1\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{3}\ln\left(6x^2+9x+4\right)-\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(\dfrac{3x+1}{\sqrt{3}}\right)+C\)
\(I=\int\dfrac{2}{2+5sinxcosx}dx=\int\dfrac{2sec^2x}{2sec^2x+5tanx}dx\\ =\int\dfrac{2sec^2x}{2tan^2x+5tanx+2}dx\)
We substitute :
\(u=tanx,du=sec^2xdx\\ I=\int\dfrac{2}{2u^2+5u+2}du\\ =\int\dfrac{2}{2\left(u+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}}du\\ =\int\dfrac{1}{\left(u+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}}du\\ \)
Then,
\(t=u+\dfrac{5}{4}\\I=\int\dfrac{1}{t^2-\dfrac{9}{16}}dt\\ =\int\dfrac{\dfrac{2}{3}}{t-\dfrac{3}{4}}-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{t+\dfrac{3}{4}}dt\)
Finally,
\(I=\dfrac{2}{3}ln\left(\left|\dfrac{t-\dfrac{3}{4}}{t+\dfrac{3}{4}}\right|\right)+C=\dfrac{2}{3}ln\left(\left|\dfrac{tanx+\dfrac{1}{2}}{tanx+2}\right|\right)+C\)
Câu 7: Theo bảng biến thiên,ta có: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, với giá trị cực đại là y=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu là y=-1
=>Chọn B
Câu 8: D vì hàm số có 3 cực trị
Câu 9: Theo bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=0
=>Chọn D
Câu 10: Theo bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=0, với giá trị cực tiểu là y=1
=>Chọn C
Câu 11: C
Câu 12: C
Câu 13: A
Câu 14: B
Câu 15: D
Câu 16: C
Câu 17: A
Câu 18: C
Câu 18+: A
Câu 19: C
Câu 19+: B
Câu 20: D
Câu 21: C
Câu 22: C
Câu 23: A
Câu 24: \(y=\frac{x^3}{3}-x-1\)
=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-1=x^2-1\)
=>y''=2x
Đặt y'=0
=>(x-1)(x+1)=0
=>x=1 hoặc x=-1
Khi x=1 thì y''=2*1=2>0
=>Hàm số đạt cực tiểu tại x=1
=>Chọn A
Câu 25: B
Câu 26: \(y=x^4+x^2-4\) là hàm số trùng phương có ab=1*1>0
nên hàm số này chỉ có 1 điểm cực trị
=>Chọn D
Câu 27: \(y=x^3-3x^2+2x+2019\)
=>y'=\(3x^2-3\cdot2x+2=3x^2-6x+2\)
Đặt y'=0
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot3\cdot2=36-24=12>0\)
=>y'=0 có hai nghiệm phân biệt
=>Hàm số có 2 cực trị
=>Chọn B
Câu 28: C
Câu 29: B
Câu 30: C
Câu 31: B
Câu 32: B
Câu 33: D
Câu 34: A
Câu 35: A
Câu 36: B
Câu 37: D
Câu 38; B
Câu 39: A
\(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x-3\right)-\left(-x^2+2x+c\right)}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-x^2+6x-6-c}{\left(x-3\right)^2}\)
\(\Rightarrow\) Cực đại và cực tiểu của hàm là nghiệm của: \(-x^2+6x-6-c=0\) (1)
\(\Delta'=9-\left(6+c\right)>0\Rightarrow c< 3\)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_1^2+6x_1-6=c\\-x_2^2+6x_2-6=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m-M=\dfrac{-x_1^2+2x_1+c}{x_1-3}-\dfrac{-x_2^2+2x_2+c}{x_2-3}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x_1^2+8x_1-6}{x_1-3}-\dfrac{-2x_2^2+8x_2-6}{x_2-3}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(1-x_1\right)-2\left(1-x_2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x_2-x_1=2\)
Kết hợp với Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2-x_1=2\\x_1+x_2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c=2\)
Có 1 giá trị nguyên
Câu 9:
ABCD.EFGH là hình lập phương
=>AE//CG và AE=CG
=>AEGC là hình bình hành
=>\(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}\)
ABCD là hình vuông
=>\(AB^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt2\)
ABCD là hình vuông
=>AC là phân giác của góc BAD
=>\(\hat{BAC}=\hat{DAC}=\frac12\cdot\hat{BAD}=45^0\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=a\cdot a\sqrt2\cdot cos45=a^2\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}=a^2\)
=>Chọn A
Câu 8: \(\left|\overrightarrow{u}+2\cdot\overrightarrow{v}\right|^2=\left|\overrightarrow{u}\right|^2+2\cdot\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot2\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{2}v\right)+\left(\left|2\cdot\overrightarrow{v}\right|\right)^2\)
\(=\left(\overrightarrow{u}\right)^2+4\cdot\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+4\cdot\left(\overrightarrow{v}\right)^2\)
=>Chọn B
Câu 6: \(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\left(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}\right)=\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}\)
\(=SA\cdot SC\cdot cosASC-SA\cdot SB\cdot cosASB\)
=0
=>\(\left(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BC}\right)=90^0\)
=>Chọn B
Câu 14: B
Câu 15:
Vì O là tâm của hình lập phương \(ABCD.A_1B_1C_1D_1\)
nên O là trung điểm của \(A_1C\)
Xét ΔA1AC có AO là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AO}=\frac12\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac12\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)
=>Chọn B
= -2³/3 + 2²/2 + 2.2 - [-(-1)³/3 + (-1)²/2 + 2.(-1)]
= -8/3 + 2 + 4 - 1/3 - 1/2 + 2
= 8 - 3 - 1/2
= 9/2
\(\int\limits^2_{-1}\left(-x^2+x+2\right)dx=\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right)|^2_{-1}=\dfrac{9}{2}\)