ab²+ac²+abc+a²b+bc²+abc+a²c+b²c+abc

=ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c+3abc

a) \(a^4+4\)

\(=a^4+4a^2+4-4a^2\)

\(=\left(a^2+2\right)^2+\left(2a\right)^2\)

\(=\left(a^2+2a+2\right)\left(a^2-2a+2\right)\)

b) \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)

\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)

\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Lời giải:

Ta có \(P\) là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AC$ nên

\(AP=PB,AN=NC\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{AN}{NC}\)

Do đó theo định lý Tales suy ra \(PN\parallel BC\), mà \(AH\perp BC\Rightarrow PN\perp AH\) \((1)\)

Xét tam giác vuông tại $H$ là $AHB$ có $P$ là trung điểm của $AB$ nên $PA=PH$ . Tương tự, \(AN=NH\)$(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow \) $PN$ là đường trung trực của $AH$

b) Do \(HM\parallel PN\Rightarrow HMNP\) là hình thang \((1)\)

Sử dụng tính chất so le trong và đồng vị với các đoạn \(PN\parallel BC, NM\parallel AB\) ta có:

\(\widehat{HPN}=\widehat{PHB}=90^0-\widehat{PHA}=90^0-\widehat{PAH}=\widehat{ABH}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{MNP}=\widehat{NMC}=\widehat{ABC}\)

Do đó \(\widehat{HPN}=\widehat{MNP}\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow HMNP\) là hình thang cân.

1. \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)

\(=a^3+b^3\)

2. \(\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+3a^2b-3ab^2\)

\(=a^3-b^3\)