Xét phương trình tiếp tuyến tổng quát có dạng:

\(y=\left(6x_0+3x_0^2\right)\left(x-x_0\right)+3x_0^2+x_0^3\)

có 3 tiếp tuyến đi qua A(a,0) nên phương trình \(\left(6x_0+3x_0^2\right)\left(a-x_0\right)+3x_0^2+x_0^3=0\) có 3 nghiệm

\(PT\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_0=0\\2x_0^2+3\left(1-a\right)x_0+6a=0\end{cases}}\)

Vậy có 1 pttt là y=0

do đó để có hai tiếp tuyến vuông góc thì \(2x_0^2+3\left(1-a\right)x_0+6a=0\) có hia nghiệm \(x_1,x_2\text{ thỏa mãn}\)

\(\left(6x_1+3x_1^2\right)\left(6x_2+3x_2^2\right)=-1\)mà áp dung Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-3}{2}\\x_1x_2=3a\end{cases}}\)

Nên \(36x_1x_2+18x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+9x_1^2x_2^2=-1\Leftrightarrow126a+81a\left(a-1\right)+81a^2=-1\)

từ đây mình giải được a nhé

Xét phương trình tiếp tuyến tổng quát có dạng:

y=(6x0+3x02)(x−x0)+3x02+x03

có 3 tiếp tuyến đi qua A(a,0) nên phương trình (6x0+3x02)(a−x0)+3x02+x03=0 có 3 nghiệm

PT⇔[

Vậy có 1 pttt là y=0

do đó để có hai tiếp tuyến vuông góc thì 2x02+3(1−a)x0+6a=0 có hia nghiệm x1,x2 thỏa mãn

(6x1+3x12)(6x2+3x22)=−1mà áp dung Viet ta có {

Nên 36x1x2+18x1x2(x1+x2)+9x12x22=−1⇔126a+81a(a−1)+81a2=−1

Gọi H là trung điểm AB, có lẽ từ 2 câu trên ta đã phải chứng minh được \(SH\perp\left(ABCD\right)\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}DM\cap\left(SAC\right)=S\\MS=\dfrac{1}{2}DS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)\)

Gọi E là giao điểm AC và DH

Talet: \(\dfrac{HE}{DE}=\dfrac{AH}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow HE=\dfrac{1}{2}DE\)

\(\left\{{}\begin{matrix}DH\cap\left(SAC\right)=E\\HE=\dfrac{1}{2}DE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(H;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)=d\left(M;\left(SAC\right)\right)\)

Từ H kẻ HF vuông góc AC (F thuộc AC), từ H kẻ \(HK\perp SF\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAC\right)\right)\)

ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{HAF}=45^0\Rightarrow HF=AH.sin45^0=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), hệ thức lượng:

\(HK=\dfrac{SH.HF}{\sqrt{SH^2+HF^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)

Câu 1: \(\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta<\pi\)

=>\(\sin\alpha>0;\sin\beta>0;cos\alpha<0;cos\beta<0\)

\(\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

=>\(cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac13\right)^2=\frac89\)

mà \(cos\alpha<0\)

nên \(cos\alpha=-\frac{2\sqrt2}{3}\)

Ta có: \(\sin^2\beta+cos^2\beta=1\)

=>\(\sin^2\beta=1-\left(-\frac23\right)^2=1-\frac49=\frac59\)

mà \(\sin\beta>0\)

nên \(\sin\beta=\frac{\sqrt5}{3}\)

\(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cdot cos\beta+cos\alpha\cdot\sin\beta\)

\(=\frac13\cdot\frac{-2}{3}+\frac{-2\sqrt2}{3}\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\frac{-\sqrt2-2\sqrt{10}}{9}\)

Câu 2:

\(P=cos\left(a+b\right)\cdot cos\left(a-b\right)\)

\(=\frac12\cdot\left\lbrack cos\left(a+b+a-b\right)+cos\left(a+b-a+b\right)\right\rbrack=\frac12\cdot\left\lbrack cos2a+cos2b\right\rbrack\)

\(=\frac12\cdot\left\lbrack2\cdot cos^2a-1+2\cdot cos^2b-1\right\rbrack=cos^2a+cos^2b-1\)

\(=\left(\frac13\right)^2+\left(\frac14\right)^2-1=\frac19+\frac{1}{16}-1=\frac{25}{144}-1=-\frac{119}{144}\)