Ta có \(M\in\Delta_1\Rightarrow M\left(2t+3;t\right)\)

.

Khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta_2\)bằng \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\)\(d\left(M,\Delta_2\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2t+3+t+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3t+4\right|=1\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=\dfrac{-5}{3}\end{matrix}\right.\)

* \(t=-1\)

\(\Rightarrow M\left(1;-1\right)\)

*\(t=\dfrac{-5}{3}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{-1}{3};\dfrac{-5}{3}\right)\)

a) Hoành độ giao điểm của hai hàm số y = 3x-2 và y = 2x+3 là :

\(3x-2=2x+3\\ \Leftrightarrow x=5\)

Thay x=5 vào một trong hai hàm số ta được tung độ giao điểm của hai hàm số đã cho là y=13

Vậy toạ độ giao điểm của hai hàm số đã cho là (x;y)=(5;13)

b) Hoành độ giao điểm của hai hàm số y=\(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)và hàm số y=\(-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\) là :

\(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\\ \Leftrightarrow\frac{5}{6}x=\frac{19}{6}\\ \Leftrightarrow x=\frac{19}{5}\)

Thay \(x=\frac{19}{5}\)vào một trong hai hàm số đã cho ta có : \(y=\frac{2}{5}\)

Vậy toạ độ giao điểm của hai hàm số đã cho là \(\left(x;y\right)=\left(\frac{19}{5};\frac{2}{5}\right)\)

Câu 2:

Bạn tham khảo ở đây:

Câu hỏi của Linh Chi - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=3\)

\(\Rightarrow\) Đường kính đường tròn bằng 6

Do d cắt đường tròn theo dây cung có độ dài bằng 6 \(\Leftrightarrow\) d đi qua tâm I

Mà d vuông góc \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+1\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)

Câu 3:

\(\frac{\pi}{2}< x< \pi\Rightarrow cosx< 0\Rightarrow cosx=-\sqrt{1-sin^2x}=-\frac{4}{5}\)

\(sin2x=2sinx.cosx=2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=...\)

\(cotx=\frac{cosx}{sinx}=...\)

\(tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{tanx-tan\frac{\pi}{4}}{1+tanx.tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{sinx}{cosx}-1}{1+\frac{sinx}{cosx}}=...\)

b/

\(sin^6x+cos^6x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x\)

\(=1-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4x\right)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)

c/

\(sin2A+sin2B=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)=2sinC.cos\left(A-B\right)\)

Mà \(cos\left(A-B\right)\le1\Rightarrow sinC.cos\left(A-B\right)\le sinC\)

\(\Rightarrow sin2A+sin2B\le2sinC\)

Tương tự:

\(sin2A+sin2C=2sinB.cos\left(A-C\right)\le2sinB\)

\(sin2B+sin2C=2sinA.cos\left(B-C\right)\le2sinA\)

Cộng vế với vế:

\(sin2A+sin2B+sin2C\le sinA+sinB+sinC\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(cos\left(A-B\right)=cos\left(B-C\right)=cos\left(A-C\right)=1\)

\(\Leftrightarrow A-B=B-C=A-C=0\)

\(\Leftrightarrow A=B=C\) hay tam giác ABC đều

Mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;1;-2\right);\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;-1\right)\)

Ta có \(\left[\overrightarrow{n};\overrightarrow{AB}\right]=\left(1;5;3\right)\)

(Q) vuông góc với (P), song song với đường thẳng AB suy ra (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{AB}\right]=\left(1;5;3\right)\) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng \(x+5y+3z+m=0\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left(1;-1;1\right)\), bán kính R = 3

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) có \(d\left(I,\left(Q\right)\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|1-5+3+m\right|}{\sqrt{35}}\)

\(\Leftrightarrow\left|m-1\right|=3\sqrt{35}\Leftrightarrow\begin{cases}m=1+3\sqrt{35}\\m=1-3\sqrt{35}\end{cases}\)

- Với \(m=1+3\sqrt{35}\) ta có phương trình mặt phẳng (Q) là : \(x+5y+3z+1+3\sqrt{35}=0\)

- Với \(m=1-3\sqrt{35}\) ta có phương trình mặt phẳng (Q) là : \(x+5y+3z+1-3\sqrt{35}=0\)