a: ΔPMN vuông tại P

=>\(PM^2+PN^2=MN^2\)

=>\(PN^2=10^2-5^2=100-25=75\)

=>\(PN=\sqrt{75}=5\sqrt3\) (cm)

Xét ΔPMN vuông tại P có cos N=\(\frac{NP}{NM}=\frac{5}{10}=\frac12\)

nên \(\hat{N}=60^0\)

ΔPMN vuông tại P

=>\(\hat{PMN}+\hat{PNM}=90^0\)

=>\(\hat{PMN}=90^0-60^0=30^0\)

b: Xét ΔPMN vuông tại P có PH là đường cao

nên \(PH\cdot MN=PN\cdot PM\)

=>\(PH\cdot10=5\cdot5\sqrt3=25\sqrt3\)

=>\(PH=\frac{25\sqrt3}{10}=\frac{5\sqrt3}{2}\) (cm)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{C}+\widehat{ABC}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{ABC}=50^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABD}=25^0\)

Xét ΔABD vuông tại A có 

\(AB=BD\cdot\cos\widehat{ABD}\)

\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{21}{\cos25^0}\simeq23.2\left(cm\right)\)

1: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{C}+47^0=90^0\)

=>\(\widehat{C}=43^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(BC=\dfrac{10}{sin43}\simeq14,66\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}\simeq10,72\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

=>\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot CB}=\dfrac{BH}{CH}\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(BD\cdot BA=BH^2\)

=>\(BD=\dfrac{BH^2}{AB}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(CE\cdot CA=CH^2\)

=>\(CE=\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

b: \(\widehat{NMH}+\widehat{N}=90^0\)

\(\widehat{P}+\widehat{N}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{NMH}=\widehat{P}\)

mn giúp em làm ý e vs ạ,thanks mn nhiều ^^

a: NP=NI+IP

=5+7=12(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MI là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}MN^2=NI\cdot NP\\MP^2=PK\cdot PN\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MN=\sqrt{5\cdot12}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\\MP=\sqrt{7\cdot12}=2\sqrt{21}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: trung tâm là cái gì vậy bạn?

c: Nếu kẻ như thế thì H trùng với I rồi bạn

sửa lại chỗ câu b ghi lộn MP Chứ k phải NP

\(AH=\sqrt{25\cdot64}=40\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có

\(\tan B=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{40}{25}=1.6\)

nên \(\widehat{B}\simeq58^0\)

hay \(\widehat{C}=32^0\)