a: Sửa đề: \(BD\cdot CE\) không đổi

Ta có: \(\hat{DMB}+\hat{DME}+\hat{EMC}=180^0\)

\(\hat{EMC}+\hat{ECM}+\hat{CEM}=180^0\)

mà \(\hat{EMD}=\hat{C}\left(=\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{DMB}=\hat{MEC}\)

M là trung điểm của BC

=>\(MB=MC=\frac{BC}{2}=a\)

Xét ΔDMB và ΔMEC có

\(\hat{DMB}=\hat{MEC}\)

\(\hat{DBM}=\hat{MCE}\)

Do đó: ΔDMB~ΔMEC

=>\(\frac{DB}{MC}=\frac{BM}{EC}\)

=>\(DB\cdot EC=MB\cdot MC=a^2\) không đổi

b:

ΔDMB~ΔMEC

=>\(\frac{DM}{ME}=\frac{DB}{MC}\)

=>\(\frac{DM}{ME}=\frac{DB}{MB}\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{ME}{MB}\)

=>\(\frac{DB}{DM}=\frac{MB}{ME}\)

Xét ΔDBM và ΔDME có

\(\frac{DB}{DM}=\frac{MB}{ME}\)

\(\hat{DBM}=\hat{DME}\)

Do đó: ΔDBM~ΔDME

=>\(\hat{BDM}=\hat{MDE}\)

=>DM là phân giác của góc BDE

▲

Xét tam giác EBD có : IM là đường trung bình Của tam giác EBD vậy ta có :IM=1/2DB * Xét tam giác DEC có : IN là đường trung bình của tam giác DEC vậy ta có :IN=1/2 EC** Mà DB= EC *** Chứng minh tương tự ta có : NK là đường trung bình của tam giác DCB vậy NK=1/2 DB ****; MK là đường trung bình của tam giác BEC vậy : MK=1/2EC ****** theo *; ** ; *** ; ****; *****ta có : NK=MK=IM=IN vậy tứ giác IMNK là hình thoi mà trong hình thoi hai đg chéo vuông góc với nhau suy ra : IKvuông góc với MN

*Trong  ∆ BCD,ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

Nên NK là đường trung bình của  ∆ BCD

⇒ NK // BD và NK = 1/2 BD (1)

*Trong  ∆ BED,ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

Nên MI là đường trung bình của  ∆ BED

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD (t/chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

Nên tứ giác MKNI là hình bình hành.

*Trong ∆ BEC ta có MK là đường trung bình.

⇒ MK = 1/2 CE (t/chất đường trung bình của tam giác)

BD = CE (gt). Suy ra: MK = KN

Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒IK ⊥ MN (t/chất hình thoi).

Áp dụng định lí về đường trung bình của tam giác để chứng minh MI = IN = NK = KM (cùng bằng \(\dfrac{BD}{2}\) và \(\dfrac{CE}{2}\) )

MINK là hình thoi nên \(IK\perp MN\)

a: Xét ΔBEC có 

I là trung điểm của BE

M là trung điểm của BC

Do đó: IM là đường trung bình của ΔBEC

Suy ra: \(IM=\dfrac{EC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔDCB có 

K là trung điểm của DC

M là trung điểm của BC

Do đó: KM là đường trung bình của ΔDCB

Suy ra: \(KM=\dfrac{BD}{2}\)

mà BD=CE

nên \(KM=\dfrac{CE}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra IM=KM