Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước tiên, ta có BM = BC theo đề bài. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ.
Tiếp theo, ta biết rằng phân giác tam giác ABC cắt AC tại K. Vì vậy, ta có góc BAK = góc CAK.
Tương tự, phân giác tam giác ABC cắt MC tại I, nên ta có góc BAM = góc CAM.
Vì CN = MA, nên ta có góc CAN = góc CMA.
Từ các quan sát trên, ta có thể thấy rằng góc BAK = góc BAM = góc CAN = góc CMA.
Vì vậy, ta có thể kết luận rằng K, M, N thẳng hàng.
BN+NC=BC
BA+AM=BM
mà BC=BM và NC=AM
nên BN=BA
Xét ΔBAK và ΔBNK có
BA=BN
góc ABK=góc NBK
BK chung
Do đó: ΔBAK=ΔBNK
=>góc BNK=90 độ và KA=KN
Xét ΔKAM vuông tại A và ΔKNC vuông tại N có
KA=KN
AM=NC
Do đó; ΔKAM=ΔKNC
=>góc AKM=góc NKC
=>góc AKM+góc AKN=180 độ
=>K,M,N thẳng hàng
a: ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên AO=OB=OC
ΔABC cân tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên AO là phân giác của góc BAC
=>\(\hat{BAO}=\hat{CAO}=\frac{90^0}{2}=45^0\)
ΔABC vuông cân tại A
=>AB=AC và \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=45^0\)
Xét ΔEAO và ΔMCO có
EA=MC
\(\hat{EAO}=\hat{MCO}\left(=45^0\right)\)
AO=OC
Do đó: ΔEAO=ΔMCO
=>OE=OM
ΔEAO=ΔMCO
=>\(\hat{EOA}=\hat{MOC}\)
mà \(\hat{MOC}+\hat{MOA}=\hat{AOC}=90^0\)
nên \(\hat{EOA}+\hat{MOA}=90^0\)
=>\(\hat{EOM}=90^0\)
=>ΔOEM vuông cân tại O
a: Ta có: AM+MB=AB
AN+NC=AC
mà MB=NC và AB=AC
nên AM=AN
Xét ΔABC có \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
nên MN//BC
Xét tứ giác BMNC có MN//BC và \(\hat{MBC}=\hat{NCB}\)
nên BMNC là hình thang cân
b: ΔABC cân tại A
=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-40^0}{2}=70^0\)
MN//BC
=>\(\hat{BMN}+\hat{MBC}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)
=>\(\hat{BMN}=180^0-70^0=110^0\)
BMNC là hình thang cân
=>\(\hat{BMN}=\hat{MNC}\)
=>\(\hat{MNC}=110^0\)
a) Xét ΔABC có
\(\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{CN}{AC}\left(BM=CN;AB=AC\right)\)
nên MN//BC(Định lí Ta lét đảo)
Xét tứ giác BMNC có MN//BC(cmt)
nên BMNC là hình thang
Hình thang BMNC có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)
nên BMNC là hình thang cân
b) \(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^0-40^0}{2}=70^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BMN}=\widehat{MNC}=180^0-70^0=110^0\)
A M N B C H K
a) Vẽ MH \(⊥\)BC ; NK \(⊥\)BC
tam giác MBH = tam giác NCK ( cạnh huyền, góc nhọn )
suy ra BH = CK
b) tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )
suy ra BN = CM
Dễ thấy MN // BC
suy ra MN = HK ( tính chất đoạn chắn )
Ta có : BN > BK ; CM > CH ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )
Vậy BN + CM > BK + CH hay BN + BN > ( BH + HK ) + CH
2BN > ( BH + CH ) + HK ; 2BN > BC + MN \(\Rightarrow BN>\frac{BC+MN}{2}\)
Bài 2:
A B C M N P
a) Xét tam giác BMC và tam giác MCN có:
Chung đường cao hạ từ M xuống BN, 2 đáy BC=CN
\(\Rightarrow S_{BMC}=S_{MCN}\)
\(\Rightarrow S_{BMN}=2S_{BMC}\)(1)
Xét tam giác ABC và tam giác BMC có:
Chung đường cao hạ từ C xuống đường thẳng AM , 2 đáy AB=BM
\(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BMC}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow S_{BMN}=2S_{ABC}\)
CMTT \(S_{APM}=2S_{ABC};S_{PCN}=2S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{PMN}=S_{PCN}+S_{APM}+S_{BMN}+S_{ABC}\)
\(=7S_{ABC}\left(đpcm\right)\)
Bài 3:
Áp dụng tính chất 2 tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đáy tương ứng với đường cao đó, ta có:
\(BP=\frac{1}{3}BC\Rightarrow S_{ABP}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
Tương tự có \(\hept{\begin{cases}S_{BMC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\\S_{CAN}=\frac{1}{3}S_{ABC}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow S_{ABP}+S_{BMC}+S_{CAN}=S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{ANE}+S_{BNEF}+S_{BFP}+S_{BFP}+S_{CPFI}+S_{CMI}+S_{CMI}+S_{MIEA}+S_{ANE}\)
\(=S_{ANE}+S_{BNEF}+S_{CPFI}+S_{BFP}+S_{CPFI}+S_{CMI}+S_{MIEA}+S_{EFI}\)
\(\Rightarrow S_{ANE}+S_{BFP}+S_{CMI}=S_{EFI}\left(đpcm\right)\)
AM+MB=AB
=>\(MB=AB-AM=AB-\frac13AB=\frac23AB\)
=>\(AM=\frac12MB\)
AN+NC=AC
=>\(NC=AC-AN=AC-\frac13AC=\frac23AC\)
=>\(AN=\frac12NC\)
\(AM=\frac12MB\)
=>\(S_{CMA}=\frac12\cdot S_{CMB};S_{OMA}=\frac12\cdot S_{OMB}\)
=>\(S_{CMA}-S_{OMA}=\frac12\cdot\left(S_{CMB}-S_{OMB}\right)\)
=>\(S_{COA}=\frac12\cdot S_{COB}\) (1)
\(AN=\frac12NC\)
=>\(S_{BNA}=\frac12\cdot S_{BNC};S_{ONA}=\frac12\cdot S_{ONC}\)
=>\(S_{BNA}-S_{ONA}=\frac12\left(S_{BNC}-S_{ONC}\right)\)
=>\(S_{BOA}=\frac12\cdot S_{BOC}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(S_{AOB}=S_{AOC}\)
F nằm giữa B và C
=>\(\frac{S_{AFC}}{S_{AFB}}=\frac{FC}{FB};\frac{S_{OFC}}{S_{OFB}}=\frac{FC}{FB}\)
=>\(\frac{S_{AFC}-S_{OFC}}{S_{AFB}-S_{OFB}}=\frac{FC}{FB}\)
=>\(\frac{FC}{FB}=\frac{S_{AOC}}{S_{AOB}}=1\)
=>FC=FB
\(S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}=S_{ABC}\)
=>\(S_{ABC}=S_{BOC}+\frac12\cdot S_{BOC}+\frac12\cdot S_{BOC}=2\cdot S_{BOC}\)
=>\(\frac{S_{COA}}{S_{CAB}}=\frac12:2=\frac14\)
=>\(S_{COA}=\frac14\cdot S_{ABC}\)
F là trung điểm của BC
=>\(CF=\frac12CB\)
=>\(S_{ACF}=\frac12\cdot S_{ACB}\)
=>\(\frac{S_{ACO}}{S_{ACF}}=\frac14:\frac12=\frac12\)
=>\(\frac{AO}{AF}=\frac12\)
=>O là trung điểm của AF
=>\(FO=\frac12FA\)
OG⊥BC
AI⊥BC
Do đó: OG//AI
XétΔGAI có OG//AI
nên \(\frac{OG}{AI}=\frac{FO}{FA}=\frac12\)
=>OG=1/2AI
O là trung điểm của AF
=>OA=OF
A B C M N
Xét \(\Delta ABM\)cân tại \(B\)
\(\Rightarrow\)Góc \(AMN=\frac{180^o-ABC}{2}=90^o-\frac{ABC}{2}\)
Xét \(\Delta ACN\)cân tại \(C\)
\(\Rightarrow\)Góc \(ANM=\frac{180^o-ACB}{2}=90^o-\frac{ACB}{2}\)
Xét \(\Delta MAN:\)
\(MAN+ANM+AMN=180^o\)
\(\Rightarrow MAN-\frac{ABC+ACB}{2}=180^o-180^o\)
\(MAN=\frac{180^o-BAC}{2}\)
\(MAN=\frac{90^o}{2}=45^o\)
Vậy ...
thanks you n` ~~