a, Xét ΔDHB và ΔDAB ta có:
HB = AB

DB chung

=> ΔDHB = ΔDAB ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> $\widehat{DBH}$ = $\widehat{DBA}$ 

=> BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$

b, BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$ 

=> $\widehat{DBA}$  = 30${}^{}$

ΔABC vuông tại A có $\widehat{ABC}$  = 60${}^{}$

=> $\widehat{ACB}$  = 30${}^{}$

Xét ΔDCH và ΔDBA ta có:

$\widehat{DBA}$  = $\hat{A}$

a/ Xét tg vuông ABD và tg vuông HBD có

BD chung; HB=AB (gt) => tg ABD = tg HBD (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\) => BD là phân giác \(\widehat{ABC}\)

b/

Xét tg vuông ABC có

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow AB=\frac{BC}{2}\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền) (1)

Ta có HB=AB (gt) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HB=\frac{BC}{2}\) => H là trung điểm của BC => DH là trung tuyến thuộc BC

Mà \(DH\perp BC\) => DH là đường cao của tg BDC

=> tg BDC cân tại D (Trong tg nếu đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

A B C D M

Hình vẽ đó ,từ làm cho quen đi bn.

Lưu ý:Hình vẽ chỉ mang tính tượng trưng,không chắc là đúng số đo

\(\widehat{B}\)=\(45^0\) chứ 

Ta có : B + C = 90⁰ ( phụ nhau )

           45⁰ + C = 90⁰

           C = 90⁰ - 45⁰ = 45⁰

=> Tam giác vuông ABC cũng là tam giác cân ABC cân tại A ( hai góc ở đáy bằng nhau )

=> AB = AC = 3cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông cân ABC ta có :

AB² + AC² = BC²

3² + 3² = BC²

9 + 9 = BC²

=> BC² = 18

Ta có \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)nên BC = \(3\sqrt{2}cm\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100\)

Suy ra \(BC=10\) cm.

Vì \(BC=10\) cm là cạnh lớn nhất nên góc đối diện là góc lớn nhất.

Ta có \(AC=8\) cm, \(AB=6\) cm nên:

\(\widehat{ABC}<\widehat{ACB}<\widehat{BAC}\).

Vì BM là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên:

\(\widehat{ABM}=\widehat{MBC}\).

Lại có:

- \(\widehat{BAM}=\widehat{BDM}=90^\circ\).

- BM là cạnh chung.

Xét hai tam giác ABM và DBM:

- \(\widehat{BAM}=\widehat{BDM}=90^\circ\).

- \(\widehat{ABM}=\widehat{DBM}\).

- BM chung.

Suy ra \(\triangle ABM=\triangle DBM\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó \(AM=MD\) (đpcm).

Vì G thuộc BN và \(BG=2GN\) nên:

\(BN=BG+GN\)

\(BN=BG+\dfrac{BG}{2}=\dfrac{3BG}{2}\).

Suy ra \(3BG=2BN\) (đpcm).

Mặt khác, vì BN là đường trung tuyến nên N là trung điểm AC.

Vì E là trung điểm BC.

Xét tam giác ABC, ta có:

- BN và AE là hai đường trung tuyến.

- G thuộc BN và \(BG=\dfrac{2}{3}BN\).

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Mà trọng tâm là giao điểm ba đường trung tuyến nên G thuộc đường trung tuyến AE.

Vậy ba điểm A, G, E thẳng hàng (đpcm).