d) Ta có: \(\angle HDA=\angle HEA=\angle DAE=90\Rightarrow HDAE\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow DE=AH=\sqrt{BH.HC}=\sqrt{4.9}=6\left(cm\right)\)

Ta có: \(DM\parallel EN (\bot DE)\) và \(\angle MDE=\angle DEN=90\)

\(\Rightarrow MDEN\) là hình thang vuông

Vì \(\Delta BDH\) vuông tại D có M là trung điểm BH 

\(\Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Vì \(\Delta HEC\) vuông tại E có M là trung điểm CH 

\(\Rightarrow EN=\dfrac{1}{2}CH=\dfrac{1}{2}.9=\dfrac{9}{2}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{DENM}=\dfrac{1}{2}.\left(DM+EN\right).DE=\dfrac{1}{2}.\left(2+\dfrac{9}{2}\right).6=\dfrac{39}{2}\left(cm^2\right)\)

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADHE có góc ADH=góc AEH=góc EAD=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=6cm

b: Gọi O là giao của AH và DE

=>O là trung điểm chung của AH và DE
mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Ta có: góc OHD+góc MHD=90 độ

góc ODH+góc MDH=90 độ

mà góc OHD=góc ODH

nên góc MHD=góc MDH

=>ΔMHD cân tại M và góc MDB=góc MBD

=>ΔMBD cân tại M

=>MH=MB

=>M là trung điểm của HB

Cm tương tự, ta được N là trung điểm của HC

=>MN=1/2BC

d: \(AD\cdot AB=AH^2\)

\(AE\cdot AC=AH^2\)

Do đó: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì:  A ^ = E ^ = D ^ = 90 o nên DE = AH.

Xét ABC vuông tại A có: A H 2 = HB.HC = 9.16 = 144 => AH = 12

Nên DE = 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Tứ giác ARHD là hình chữ nhật vì:  A ^ = E ^ = D ^ = 90 ∘ nên DE = AH.

Xét ∆ ABC vuông tại A có A H 2 = HB.HC = 4.9 = 36 ⇔ AH = 6

Nên DE = 6cm

Đáp án cần chọn là : D

a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)

=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)

=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2=AH^2\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có

OK chung

OE=OH

Do đó: ΔOEK=ΔOHK

=>KE=KH

=>ΔKHE cân tại K

Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)

\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)

mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)

=>KE=KC

=>KH=KC

=>K là trung điểm của CH

a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)

=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)

=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2=AH^2\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có

OK chung

OE=OH

Do đó: ΔOEK=ΔOHK

=>KE=KH

=>ΔKHE cân tại K

Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)

\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)

mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)

=>KE=KC

=>KH=KC

=>K là trung điểm của CH