Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Từ điểm M bất kì trên BC \(\left(M\ne C\right)\), vẽ đường thẳng song song với AC và AB, cắt AB ở D, AC ở E.

a) Chứng minh: ADME là hình chữ nhật.

b) AD = 6cm; AE = 8cm. Tính AM.

c) Chứng minh: \(\widehat{DHE}=90^o\)

d) Chứng minh: \(\text{AD.DB+AE.EC}\le\frac{BC^2}{4}\)

        Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC (M \(\ne\)B, M\(\ne\)C), D và E lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC.

             a) Chứng minh rằng AM=DE và tìm vị trí của điểm M trên BC để tứ giác ADME là hính vuông.

             b) Chứng minh rằng: \(\widehat{DHE=90^O}\)  

             c) Vẽ DK\(\perp\)BC tại K, EN\(\perp\)BC tại N. Chứng minh rằng: Mk=HN.

             d) Chứng minh rằng: \(S\) DKNE  = \(S\) DME  +\(S\) DHE 

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ M, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua EF.

a) Tính chu vi của tứ giác AEMF. Biết AB = 7

b) Chứng minh AFEN là hình thang cân

c) Tính \(\widehat{ANB}+\widehat{ACB}\)

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện gì của \(\Delta ABC\) để cho AEMF là hình vuông

Bài 1: Cho G là trọng tâm △ABC. Qua G vẽ đường thẳng song song AB và AC cắt BC lần lượt tại D, E. Chứng minh:

a)\(\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}\)

b)\(BD=DE=EC\)

Bài 2: Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và các đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F, O.

Chứng minh: \(\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AO}\)

Bài 3: Cho A', B', C' lần lượt nằm trên cạnh BC, AC, AB của △ABC. Biết rằng AA', BB', CC' đồng quy tại M.

Chứng minh:\(\frac{AM}{A'M}=\frac{AB'}{CB'}+\frac{AC'}{BC'}\)

Bài 4: Cho △ABC và trung tuyến AM. Điểm O bất kỳ thuộc AM. F là giao điểm của BO và AC, E là giao điểm của OC và AB. Từ M kẻ đường thẳng song song OC cắt AB tại H và đường thẳng song song OB cắt AC tại K.Chứng minh:

a)EF//HK

b)EF//BC

Bài 5: Cho △ABC, kẻ đường thẳng song song BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ Cx//AB và cắt DE ở G. Gọi H là giao điểm của AC và BG. Kẻ HI//AB (I thuộc BC).Chứng minh:

a)\(DA.EG=DB.DE\)

b)\(HC^2=HE.HA\)

c)\(\frac{1}{HI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CG}\)

1 . Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, P lần lượt là trung điểm của AB, AC
và BC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm M sao cho CM = CE. Chứng minh:
a) Tứ giác BDEP là hình bình hành. 
b) Tứ giác CDPM là hình bình hành. 
c) P là trọng tâm của tam giác BDM

2 . 

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Từ điểm M vẽ các đường thẳng song song với AC và AB, các đường thẳng song song đó lần lượt cắt AB và AC tại D và E.
1) Chứng minh tứi giác ADME là hình bình hành.
2) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác ADME là hình chữ nhật, hình vuông?
3) Chứng minh diện tích của tam giác ADE = \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC.