a:

Sửa đề: Chứng minh bốn điểm A,D,H,E cùng nằm trên đường tròn

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>Tâm O là trung điểm của AH

b: Gọi giao điểm của AH với BC là M

Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại M

OD=OH

=>ΔODH cân tại O

=>\(\widehat{ODH}=\widehat{OHD}\)

mà \(\widehat{OHD}=\widehat{BHM}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHM}=\widehat{BCD}\left(=90^0-\widehat{DBC}\right)\)

nên \(\widehat{ODH}=\widehat{DCB}\)

ΔDBC vuông tại D có DI là đường trung tuyến

nên DI=IB=IC=BC/2

IB=ID

=>ΔIDB cân tại I

=>\(\widehat{IBD}=\widehat{IDB}\)

\(\widehat{ODI}=\widehat{ODB}+\widehat{IDB}\)

\(=\widehat{IBD}+\widehat{DCB}=90^0\)

=>DI là tiếp tuyến của (O)

1: Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà BH⊥CA

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

4: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ADE}\left(=180^0-\hat{EDC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{ADE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//DE

=>OA⊥DE

Ta có H là trực tâm tg ABC

\(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{ECB}\left(cùng.phụ.\widehat{ABC}\right)\left(1\right)\)

Mà \(OA=OE\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{EAO}\left(2\right)\)

Vì EM là tt ứng cạnh huyền BC của tg EBC nên \(EM=MC\)

\(\Rightarrow\widehat{ECM}=\widehat{CEM}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{CEM}\)

Mà \(\widehat{AEO}+\widehat{OEC}=\widehat{AEC}=90^0\Rightarrow\widehat{OEC}+\widehat{CEM}=90^0=\widehat{OEM}\)

Do đó \(OE\perp EM\) hay EM là tt của (O)

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllloooooooooooooooonnnnnnnnnnnnnnnnnn

Vì 1 + 1 = 2 nên 2 + 2 = 4 

Đáp số : Không Biết