a: BN là phân giác của góc ABD

=>\(\hat{ABN}=\hat{DBN}=\frac12\cdot\hat{ABD}\) (1)

CM là phân giác của góc ACE

=>\(\hat{ACM}=\hat{ECM}=\frac12\cdot\hat{ACE}\) (2)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{ABN}=\hat{DBN}=\hat{ACM}=\hat{ECM}\)

\(\hat{OBC}+\hat{OCB}=\hat{OBD}+\hat{DBC}+\hat{OCE}+\hat{ECB}\)

\(=\frac12\cdot\hat{ABD}+\frac12\cdot\hat{ACE}+\hat{HBC}+\hat{HCB}=\hat{ABD}+\hat{HBC}+\hat{HCB}\)

\(=\hat{ABC}+\hat{HCB}=90^0\)

=>ΔOBC vuông tại O

b: Xét ΔBOM vuông tại O và ΔBOH vuông tại O có

BO chung

\(\hat{OBM}=\hat{OBH}\)

Do đó: ΔBOM=ΔBOH

=>OM=OH

=>O là trung điểm của MH

Xét ΔCOK vuông tại O và ΔCON vuông tại O có

CO chung

\(\hat{OCK}=\hat{OCN}\)

Do đó: ΔCOK=ΔCON

=>OK=ON

=>O là trung điểm của NK

Xét tứ giác MNHK có

O là trung điểm chung của MH và NK

=>MNHK là hình bình hành

Hình bình hành MNHK có MH⊥NK

nên MNHK là hình thoi

a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180⁰.

⇒   A B C ^ = A E C ^ ⇒   N B D ^ = M C A ^  

Trong DDBN có: N B D ^ + B N D ^ = 90 0  

Gọi O = CM Ç BN Þ CM ^ BN = O (1)

b) Xét DCNK có: CO ^ KN Þ CO ^ BN, CO là phân giác A C E ^  nên DCNK cân ở C Þ O là trung điểm KN (2).

Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi.

A B C D E O N M K H 1 1 2 2 3 3

a) Vì tam giác BEC vuông ở E\(\Rightarrow\widehat{B1}+\widehat{B2}+\widehat{B3}+\widehat{C1}=90^0\)( phụ nhau )

                                       Mà \(\widehat{B2}=\widehat{B3}\)( BN là phân giác góc ABD )

\(\Rightarrow\widehat{B1}+2.\widehat{B2}+\widehat{C1}=90^0\left(1\right)\)

Vì tam giác DBC vuông ở D \(\Rightarrow\widehat{C1}+\widehat{C2}+\widehat{C3}+\widehat{B1}=90^0\)( phụ nhau )

                                         Mà \(\widehat{C2}=\widehat{C3}\)( CM là tia phân giác góc ACE)

\(\Rightarrow\widehat{C1}+2.\widehat{C2}++\widehat{B1}=90^0\left(2\right)\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)\)ta được:

\(2.\left(\widehat{B1}+\widehat{C1}\right)+2\left(\widehat{B2}+\widehat{C2}\right)=180^0\)

\(2\left(\widehat{B1}+\widehat{B2}+\widehat{C1}+\widehat{C2}\right)=180^0\)

\(2\left(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}\right)=180^0\)

\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=90^0\)

Xét tam giác OBC có: \(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^0\left(đl\right)\)

                                   \(90^0+\widehat{BOC}=180^0\)

                                                 \(\widehat{BOC}=90^0\)

\(\Rightarrow OB\perp OC\)

\(\Rightarrow BN\perp CM\)

b) Vì \(BN\perp CM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MH\perp KN\)

Xét tứ giác \(MNHK\)có 2 đường chéo MH  và KN vuông góc với nhau 

\(\Rightarrow MNHK\)là hình thoi 

mik ko bt