Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
* cái này là công thức rồi bn o cần chứng minh đâu
công thức : cho tam giác ABC ; nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Gọi M trung điểm BC
G đối xứng D qua M
=> tứ giác BGCD là hình bình hành
=> GD=2.GM (Hình bình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mà AG = 2.GM ( \(\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{2}{1},GA=\dfrac{2}{3}AM\) )
⇒ AG=GD
Mặt khác, G ϵ AD
⇒\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\)
Ta có \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\) (Quy tắc hình bình hành)
Nên \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\) = \(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}\)
Mà \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\) (cmt)
⇒\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{O}\)
Chọn C.
Vì 
nên
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Tam giác ABM đều nên 
Theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)
\(=0\)
a: Gọi M là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
M là trung điểm của AB
Do đó: CG=2/3CM
=>CG=2GM
=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)
\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)
\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)
\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)
\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)
mk bận đi ch nên chỉ tạm câu a nha
vẽ 3 đường trung tuyến AD ; BE ; CF
VT =
\(GA+GB+GC\) ( nhớ thêm dấu vec tơ nha )
\(=-\frac{2}{3}AD-\frac{2}{3}BE-\frac{2}{3}CF\)
\(=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(AB+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(BA+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(CA+CB\right)\) ( quy tắc hình bình hành )
\(=-\frac{1}{3}\left(AB+AC\right)-\frac{1}{3}\left(BA+BC\right)-\frac{1}{3}\left(CA+CB\right)\)
\(=-\frac{1}{3}AB-\frac{1}{3}AC-\frac{1}{3}BA-\frac{1}{3}BC-\frac{1}{3}CA-\frac{1}{3}CB\)
\(=0=VP\)
a: ΔABC đều cạnh a
=>AB=BC=AC=a
=>\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\)
ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên H là trung điêm của BC
=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)
ΔAHB vuông tại H
=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AH^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{3a^2}{4}\)
=>\(AH=\frac{a\sqrt3}{2}\)
Gọi I là trung điểm cua BH
=>\(HI=\frac{HB}{2}=\frac{a}{4}\)
ΔAHI vuông tại H
=>\(AH^2+HI^2=AI^2\)
=>\(AI^2=\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{16}=\frac{13a^2}{16}\)
=>\(AI=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)
Xét ΔAHB có AI là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=2\cdot\overrightarrow{AI}\)
=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}\right|=2\cdot AI=2a\sqrt{13}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right|=\left|\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{HB}\right|=HB=\frac{a}{2}\)
b: Xét ΔABC đều có G là trọng tâm
nên \(GA=GB=GC=AB\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{a\sqrt3}{3}\)
\(\left|\overrightarrow{GB}\right|=GB=\frac{a\sqrt3}{3}\)
Vì G là trọng tâm của ΔABC
nên \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{0}\right|=0\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CG}\)
\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}\)
Qua C, lấy K sao cho \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{GA}\)
=>CK//GA và CK=GA
Xét ΔABC đều có G là trọng tâm
nên AG⊥BC
=>CK⊥CB
Xét ΔABC đều có G là trọng tâm
nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
=>GA=GB=GC
Xét (G) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
nên \(\hat{BGC}=2\cdot\hat{BAC}=120^0\)
Xét tứ giác AGCK có
AG//CK
AG=CK
Do đó: AGCK là hình bình hành
Hình bình hành AGCK có AG=GC
nên AGCK là hình thoi
=>CA là phân giác của góc GCK
=>\(\hat{GCK}=2\cdot\hat{GCA}=60^0\)
Xét ΔGCK có GC=KC và \(\hat{GCK}=60^0\)
nên ΔGCK đều
=>\(\hat{KGC}=60^0\)
\(\hat{BGC}+\hat{KGC}=120^0+60^0=180^0\)
=>B,G,K thẳng hàng
Trên tia đối của tia GC, lấy E sao cho GC=GE
=>G là trung điểm của EC
Ta có: EC=2GC
BK=2GB
mà GC=GB
nên EC=BK
Xét tứ giác BCKE có
G là trung điểm chung của BK và CE
=>BCKE là hình bình hành
Hình bình hành BCKE có \(\hat{BCK}=90^0\)
nên BCKE là hình chữ nhật
=>\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CE}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)
=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)