a: Xét ΔABC có

\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

Do đó: MN//BC

Xét tứ giác BNMC có MN//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

nên BMNC là hình thang cân

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành

a: Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC

Xét tứ giác BNMC có NM//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BNMC là hình thang cân

1.

Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.

Suy ra: $NP\parallel BC,\ PN=\dfrac12BC$.

Lại có: $AF\parallel BC$ và $BF\parallel AM$.

Do đó: $AF\parallel NP$.

Mặt khác trong tam giác $ABF$, $P$ là trung điểm của $AB$ và $PN\parallel AF$ nên $N$ là trung điểm của $PF$.

Suy ra: $PN=NF$.

Vậy trong tứ giác $AFPN$:

$AF\parallel PN$ và $AF=PN$.

Do đó: $\boxed{AFPN \text{ là hình bình hành}}$.

Vì $AFPN$ là hình bình hành nên: $FN\parallel AP$.

Mà $A,P,B$ thẳng hàng nên: $FN\parallel CB$.

Lại có: $CN\parallel FP$ (vì $CN\subset AC$ và trong hình bình hành $AFPN$ thì $FP\parallel AN\subset AC$).

Do đó: $CN\parallel FP,\quad NF\parallel CP$.

Suy ra: CNFP là hình bình hành.

Ta có $NJ\parallel AM$ (gt) và $BF\parallel AM$ nên: $NJ\parallel BI$.

Mặt khác, $I$ là giao điểm của $NP$ và $BF$.

Vì $NP\parallel BC$ nên: $NI\parallel BJ$.

Do đó: $NJ\parallel BI,\quad NI\parallel BJ$.

Suy ra NIBJ là hình bình hành.

2.

a) Ta có:

$AI\parallel BG$ (cách dựng), $BI\parallel AK$.

Mà $G\in AK$ nên: $AG\parallel BI$.

Suy ra tứ giác $AGBI$ có:

$AI\parallel BG$ và $AG\parallel BI$.

Do đó: $AGBI$ là hình bình hành.

Suy ra: $\boxed{BG=AI}$.

b) Vì $HE$ là đường trung trực của $AC$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ nên:

$HE=AE=\dfrac{AC}{2}$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$\widehat{BGA}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với góc $C$),

$\widehat{BAG}=\widehat{AKC}=90^\circ$.

Suy ra: $\triangle BGA\sim\triangle ACK$.

Do đó: $\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BA}{AK}$.

Mà trong tam giác vuông $ABK$:

$AK=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$.

Suy ra: $BG=AC$.

Vậy: $\boxed{BG=2HE}$.

c) Tương tự, vì $HF$ là đường trung trực của $BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác vuông $BDC$, $F$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên:

$HF=BF=\dfrac{BC}{2}$.

Lại có: $\triangle AGB\sim\triangle DCB$.

Suy ra: $\dfrac{AG}{BC}=1$.

Hay: $AG=BC$.

Do đó: $\boxed{AG=2HF}$.

a: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//BC và \(ED=\frac{BC}{2}\)

b: Xét ΔGBC có

P,Q lần lượt là trung điểm của GC,GB

=>PQ là đường trung bình của ΔGBC

=>PQ//BC và \(PQ=\frac{BC}{2}\)

ED//BC

PQ//BC

Do đó: ED//PQ

Ta có: \(ED=\frac{BC}{2}\)

\(PQ=\frac{BC}{2}\)

Do đó: ED=PQ

Xét tứ giác PQED có

PQ//ED

PQ=ED

Do đó: PQED là hình bình hành

A B C E F I G

a/

Ta có

FA=FC; GB=GC => GF là đường trung bình của tg ABC

=> GF//AB Mà \(AB\perp AC\)

\(\Rightarrow GF\perp AC\)

=> AEGF là hình thang vuông tại A và F

b/

EI//BF (gt)

GF//AB => FI//BE

=> BEIF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Ta có GF là đường trung bình của tg ABC \(\Rightarrow GF=\dfrac{1}{2}AB\)

 BEIF là hbh (cmt) =>FI=EB

Mà \(EA=EB=\dfrac{1}{2}AB\)

=> GF=FI

Ta có

FA=FC

=> AGCI là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà \(GF\perp AC\Rightarrow GI\perp AC\)

=> AGCI là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

d/

Để AGCI là hình vuông \(\Rightarrow AG\perp BC\) => AG là đường cao của tg ABC

Mà GB=GC => AG là đường trung tuyến của tg ABC

=> tg ABC là tg cân tại A (Tam giác có đường cao và đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

Mà \(\widehat{A}=90^o\) (gt)

=> Đk để AGCI là hình vuông thì tg ABC phải là tg vuông cân tại A

sai hay đúng?