Tam giác ABC có đường thẳng d cắt AB tại E và AC tại F
Ta có S(AEF)/S(ABC) = AE.AF/AB.AC
Ghi chú: S(ABC) là diện tích tam giác ABC
Từ AM/AB = BN/BC = CP/CA = 1/3
=> BM/BA = CN/CB = AP/AC = 2/3
Áp dụng ta có:
S(AMP)/S(ABC) = AM.AP/AB.AC = 1/3.2/3 = 2/9 (1)
S((BMN)/S(ABC) = BN.BM/BC.BA = 1/3.2/3 = 2/9 (2)
S(CNP)/S(ABC) = CN.CP/CB.CA = 1/3.2/3 = 2/9 (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
[S(AMP) + S(BMN) + S(CNP)]/S(ABC) = 6/9 = 2/3
=> S(AMP) + S(BMN) + S(CNP) = 2/3.S(ABC) = 2/3.S
Mà S(AMP) + S(BMN) + S(CNP) + S' = S
=> S' = S - 2/3.S = 1/3.S
Nối M với N,B với N
Diện tích ABN=2/3 diện tích ABC (Vì AN=2/3AC)
Diện tích ABN là
360*2/3=240(cm2)
Diện tích AMN=2/3 diện tích ABN(vì AM=2/3AC)
Diện tích AMN là
240*2/3=160(cm2)
Kẻ HN//CM
Xét ΔAMC có HN//CM
nên AH/AM=AN/AC=1/3=HN/CM
=>AH=1/3AM=1/3*2/3*AB=2/9*AB
AH=2/9AB
=>BH/AB=7/9
mà BM/AB=1/3
nên BM/BH=1/3:7/9=1/3*9/7=3/7
Xét ΔBHN có MK//HN
nên MK/HN=BM/BH=3/7
=>MK=3/7HN=3/7*1/3*CM=1/7*CM
=>CK/CM=6/7
S AMC=2/3*S ABC
=>S AKC=6/7*2/3*S ABC=4/7*S ABC
Gọi L là giao điểm của AM và BN
CM=2BM
=>\(S_{AMC}=2\cdot S_{AMB};S_{LMC}=2\cdot S_{LMB}\)
=>\(S_{AMC}-S_{LMC}=2\left(S_{AMB}-S_{LMB}\right)\)
=>\(S_{ALC}=2\cdot S_{ALB}\)
Ta có: NA=3NC
=>\(S_{BNA}=3\cdot S_{BNC};S_{LNA}=3\cdot S_{LNC}\)
=>\(S_{BNA}-S_{LNA}=3\left(S_{BNC}-S_{LNC}\right)\)
=>\(S_{BLA}=3\cdot S_{BLC}\)
=>\(S_{ALC}=2\cdot3\cdot S_{BLC}=6\cdot S_{BLC}\)
\(S_{ALB}+S_{ALC}+S_{BLC}=S_{ABC}\)
=>\(S_{BLC}+3\cdot S_{BLC}+6\cdot S_{BLC}=S_{ABC}\)
=>\(10\cdot S_{BLC}=S_{ABC}\)
=>\(S_{BLC}=\frac{S_{ABC}}{10}\)
=>\(S_{BLA}=\frac{3}{10}\cdot S_{ABC};S_{ALC}=\frac{6}{10}\cdot S_{ABC}=\frac35\cdot S_{ABC}\)
TA có: NA+NC=AC
=>AC=NC+3NC=4NC
=>\(CN=\frac14\cdot AC\)
=>\(S_{BNC}=\frac14\cdot S_{CBA}\)
=>\(\frac{S_{BLC}}{S_{BNC}}=\frac{1}{10}:\frac14=\frac{4}{10}=\frac25\)
=>\(\frac{BL}{BN}=\frac25\)
MB+MC=BC
=>BC=2MB+MB=3MB
=>\(S_{AMB}=\frac13\cdot S_{ABC}\)
\(\frac{CM}{CB}=\frac{2\cdot BM}{3\cdot BM}=\frac23\)
=>\(S_{AMC}=\frac23\cdot S_{ABC}\)
\(S_{ALC}=\frac35\cdot S_{ABC};S_{AMC}=\frac23\cdot S_{ABC}\)
=>\(\frac{S_{ALC}}{S_{AMC}}=\frac35:\frac23=\frac{9}{10}\)
=>\(\frac{AL}{AM}=\frac{9}{10}\)
Gọi I là giao điểm của CP và AM
PA=PB
=>\(S_{CPA}=S_{CPB};S_{IPA}=S_{IPB}\)
=>\(S_{CPA}-S_{IPA}=S_{CPB}-S_{IPB}\)
=>\(S_{CIA}=S_{CIB}\)
\(BM=\frac12\cdot MC\)
=>\(S_{AMB}=\frac12\cdot S_{AMC};S_{IMB}=\frac12\cdot S_{IMC}\)
=>\(S_{AMB}-S_{IMB}=\frac12\left(S_{AMC}-S_{IMC}\right)\)
=>\(S_{AIB}=\frac12\cdot S_{AIC}\)
=>\(S_{CIA}=S_{CIB}=2\cdot S_{AIB}\)
\(S_{AIB}+S_{AIC}+S_{BIC}=S_{ABC}\)
=>\(S_{ABC}=S_{IAB}+2\cdot S_{IBA}+2\cdot S_{IAB}=5\cdot S_{IAB}\)
=>\(S_{IAB}=\frac15\cdot S_{ABC}\)
=>\(S_{AIC}=S_{BIC}=\frac25\cdot S_{ABC}\)
PA=PB
=>P là trung điểm của AB
=>\(AP=PB=\frac{AB}{2}\)
\(AP=\frac{AB}{2}\)
=>\(S_{CPA}=\frac12\cdot S_{ABC}\)
\(\frac{S_{CIA}}{S_{CPA}}=\frac{CI}{CP}\)
=>\(\frac{CI}{CP}=\frac25:\frac12=\frac45\)
=>\(CI=\frac45CP\)
\(BM=\frac{BC}{3}\)
=>\(S_{AMB}=\frac13\cdot S_{ABC}\)
\(\frac{S_{AIB}}{S_{AMB}}=\frac{AI}{AM}\)
=>\(\frac{AI}{AM}=\frac15:\frac13=\frac35\)
Gọi O là giao điểm của BN và CP
AP=PB
=>\(S_{CPA}=S_{CPB};S_{OPA}=S_{OPB}\)
=>\(S_{CPA}-S_{OPA}=S_{CPB}-S_{OPB}\)
=>\(S_{COA}=S_{COB}\)
NA=3NC
=>\(S_{BNA}=3\cdot S_{BNC};S_{ONA}=3\cdot S_{ONC}\)
=>\(S_{BNA}-S_{ONA}=3\left(S_{BNC}-S_{ONC}\right)\)
=>\(S_{BOA}=3\cdot S_{BOC}\)
=>\(S_{BOC}=\frac13\cdot S_{BOA}\)
=>\(S_{AOC}=S_{BOC}=\frac13\cdot S_{BOA}\)
Ta có: \(S_{BOA}+S_{BOC}+S_{AOC}=S_{ABC}\)
=>\(S_{ABC}=S_{BOA}+\frac13\cdot S_{BOA}+\frac13\cdot S_{BOA}=\frac53\cdot S_{BOA}\)
=>\(S_{AOB}=\frac35\cdot S_{AOB}\)
=>\(S_{AOC}=\frac35\cdot\frac13\cdot S_{ABC}=\frac15\cdot S_{ABC};S_{BOC}=\frac15\cdot S_{ABC}\)