a: Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Do đó: DE//BC

hay BDEC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BDEC là hình thang cân

\(\Delta\)ABC có: DA=DB(gt)  

                 EA=EC(gt)

=> DE là đường trung bình của \(\Delta\)ABC

=> DE//BC

Xét tứ giác BDEC có: DE//BC

=> Tứ giác BDEC là hình thang

Mà:^B=^C (gt)

=> Tứ giác BDEC là hình thang cân

b)Vì DE là đường trung bình của tam giác ABC

=>\(DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot8=4\)

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//AC và \(DE=\frac{AC}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD⊥BC tại D

Xét tứ giác ADCI có

F là trung điểm chung của AC và DI

=>ADCI là hình bình hành

Hình bình hành ADCI có \(\hat{ADC}=90^0\)

nên ADCI là hình chữ nhật

c: ADCI là hình chữ nhật

=>AI//DC và AI=DC

AI//DC

=>AI//DB

AI=DC

DC=DB

Do đó: AI=DB

Xét tứ giác AIDB có

AI//DB

AI=DB

Do đó: AIDB là hình bình hành

=>AB//DI

=>AE//DI

=>AEDI là hình thang

Ta có: ED=AC/2

AF=AC/2

Do đó: ED=AF

ED//AC

=>ED//AF

Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(AF=FC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AE=EB=AF=FC

Xét tứ giác AEDF có

ED//AF

ED=AF

Do đó: AEDF là hình bình hành

Hình bình hành AEDF có AE=AF

nên AEDF là hình thoi

Hình thang AEDI trở thành hình thang cân khi \(\hat{AID}=\hat{EDI}\)

mà \(\hat{AID}=\hat{ABD}\) (AIDB là hình bình hành)

và \(\hat{EDI}=\hat{BAC}\) (AEDF là hình thoi)

nên \(\hat{ABC}=\hat{BAC}\)

                                                         Bài giải

a) 

Ta có GM = BM, GN = CN (gt)

⇒ MN // BC (T/C đtb ΔGBC)

Tương tự, ED // BC (ED là đtb ΔABC)

⇒ MN // ED

Lại có IK // MN ( IK là đtb ΔGMN )

Nên IK // ED

Nên IEDK là hình thang (1)

Có ΔAED cân tại A (AE = AD)

⇒\(\widehat{AED}=\widehat{ADE}\)

Lại có \(\widehat{BEC}=\widehat{CDB}\) ( ΔBEC=ΔCDB:c-g-c )

⇒180^o -( \(\widehat{ADE}+\widehat{BEC}\) )=180^o - ( \(\widehat{ADE}+\widehat{CDB}\) )

Hay \(\widehat{IED}=\widehat{KDE}\)(2)

Từ (1) và (2), suy ra IEDK là hình thang cân

b) DE = \(\frac{1}{2}\) BC ( đg thẳng nối trung điểm 2 cạnh tam giác bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh còn lại) 
MN = \(\frac{1}{2}\) BC ( như trên) 
IK = \(\frac{1}{2}\) MN = \(\frac{1}{4}\)BC (nt) 
DE + IK = \(\frac{1}{2}\)BC +\(\frac{1}{4}\) BC = 5 + 2,5  = 7,5 cm

Quên vẽ hình :::))

A B C D E G M N I K