Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{AK}=-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{KA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
\(=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
A B C D G I
a) Gọi I là trung điểm BC
Lấy D đối xứng với G qua I => I là trung điểm GD
=> Tứ giác BGCD là hình bình hành
\(\Rightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\\ \Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}\\\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=0\\ \Rightarrow G\text{ là trung điểm }AD\\ \Rightarrow GI=\frac{1}{2}GD=\frac{1}{2}AG\\ \Rightarrow AG=2GI\\ \Rightarrow\frac{1}{2}AG+AG=AG+GI\\ \Rightarrow\frac{3}{2}AG=AI\\ \Rightarrow AG=\frac{2}{3}AI\)
=> G là trọng tâm \(\Delta ABC\)
\(\text{b) }\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\\ =3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\\ =3\overrightarrow{MG}+0=3\overrightarrow{MG}\)
Do G là trọng tâm tam giác
\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)
Do I là trung điểm AG
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}\)
Nếu bạn muốn chứng minh hẳn tại sao đáp án B đúng thì có thể làm như sau:
Dễ thấy $\triangle ABC\sim \triangle NPM$ theo tỷ lệ $2$
Mà $H, H'$ lần lượt là trực tâm 2 tam giác trên
$\Rightarrow \frac{CH}{MH'}=2$
$\Leftrightarrow CH=2MH'(1)$
Mặt khác: $CH\perp AB; MH'\perp PN; AB\parallel PN$ nên $MH'\parallel CH(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 2\overrightarrow{H'M}=\overrightarrow{CH}$
Từ đây ta có:
$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'B}+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{H'B})+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{H'B}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'M}+\overrightarrow{H'M})+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+2\overrightarrow{H'M}+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}$
Vậy đáp án B đúng.
Lời giải:
Có thể loại ngay đáp án C vì nếu $H\equiv G$( $G$ là trọng tâm $ABC$) thì ta mới có công thức trên.
$\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{HM}+2\overrightarrow{HN}+2\overrightarrow{HP})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AP})$
$=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}+2\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$ nên 2 phương án A, D tương đương nhau.
Do đó có thể suy ra đáp án B là đáp án đúng.