Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(m=2018,\frac{\sin B+m\sin C}{m\cos B+\cos C}=\sin A\Leftrightarrow b+mc=a\left(m\cos B+\cos C\right)\)
\(\Leftrightarrow b+mc=\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\)
\(\Leftrightarrow2bc\left(b+mc\right)=mb\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2b^2c+2mbc^2=mba^2+mbc^2-mb^3+ca^2+cb^2-c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(c+mb\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Dễ dàng CM được \(S_{ABC}=6.S_{MBG}\Rightarrow bc=12.S_{MBG}\).Do vậy ta cần CM bc chia hết cho 12
( ta sử dụng tính chất của số chính phương)
- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1
*) Ta thấy trong 2 số \(b^2,c^2\)có ít nhất 1 số chia hết cho 3. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 3. Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1. Do đó a2 chia 3 dư 2 ( trái với tính chất số chính phương)
Do 3 là số nguyên tố nên trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . (1)
*)Chứng minh trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 4. Khi đó \(b=4m+r;c=4n+q;r,q\in\left\{1;2;-1\right\}\)
+ Nếu \(r,q\in\left\{1;-1\right\}\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
+ Nếu \(r\in\left\{-1;1\right\},q=2\) hoặc ngược lại thì a2 là số lẻ và a2 chia 8 dư 5 ( vô lý)
+ Nếu r=q=2 thì \(a^2=4\left(2m+1\right)^2+4\left(2n+1\right)^2\Rightarrow\)a chẵn
Đặt \(a=2p\Rightarrow p^2=\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2\Rightarrow p^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
Vậy trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Định lí cosin: Trong tam giác ABC
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - \,2a\,c.\cos B\quad (2)\\{c^2} = {b^2} + {a^2} - \,2ab.\cos C\quad (3)\end{array}\)
Ta có \((1) \Leftrightarrow 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\, \Leftrightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}\,}}{{2b\,c}}.\)
Tương tự từ (2) và (3) ta suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\,}}{{2a\,c}}\); \(\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}\,}}{{2b\,a}}\)
a: Xét ΔCAB có \(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)
=>\(\dfrac{2^2+3-AB^2}{2\cdot2\cdot\sqrt{3}}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(7-AB^2=4\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\cdot3=6\)
=>AB=1
b: Xét ΔABC có \(AB^2+BC^2=CA^2\)
nên ΔABC vuông tại B
=>\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A là:
\(m_A=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4+1}{2}-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
a) Đặt độ dài cạnh AB là x (\(x > 0\))
Theo giả thiết ta có độ dài \(AC = AB + 2 = x + 2\)
Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ta có
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \)
b) Chu vi của tam giác là \(C = AB + AC + BC\)
\( \Rightarrow C = x + \left( {x + 2} \right) + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 2x + 2 + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \)
Theo giả thiết ta có
\(\begin{array}{l}C = 24 \Leftrightarrow 2x + 2 + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 24\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 22 - 2x\\ \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = {\left( {22 - 2x} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = 4{x^2} - 88x + 484\\ \Rightarrow 2{x^2} - 92x + 480 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = 6\) hoặc \(x = 40\)
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 22 - 2x\) ta thấy chỉ có \(x = 6\) thỏa mãn phương trình
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là \(AB = 6;AC = 8\) và \(BC = 10\)(cm)
Áp dụng định lý hàm cosin:
\(b=\sqrt{a^2+c^2-2ac.cosB}=7\)
Diện tích:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ac.sinB=10\sqrt{3}\)
a: A(3;1); B(1;3); C(3;5)
\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)
b: \(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt2\)
\(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{0^2+4^2}=4\)
Chu vi tam giác ABC là:
\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt2+2\sqrt2+4=4+4\sqrt2\)
Xét ΔABC có \(BA^2+BC^2=AC^2\)
nên ΔBAC vuông tại B
=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2=4\)
c:
A(3;1); B(1;3); C(3;5)
Tọa độ trung điểm của AB là:
\(\begin{cases}x=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\end{cases}\)
Tọa độ trung điểm của AC là:
\(\begin{cases}x=\frac{3+3}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\end{cases}\)
Tọa độ trung điểm của BC là:
\(\begin{cases}x=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{3+5}{2}=\frac82=4\end{cases}\)
Tọa độ trọng tâm G là:
\(\begin{cases}x=\frac{3+1+3}{3}=\frac73\\ y=\frac{1+3+5}{3}=\frac93=3\end{cases}\)
=>G(7/3;3)
ΔBAC vuông tại B
=>ΔBAC nội tiếp đường tròn đường kính AC
=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là trung điểm của AC
=>Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là M(3;3)
ΔABC vuông tại B
=>B là trực tâm của ΔABC
=>Tọa độ trực tâm của ΔABC là B(1;3)
d: A(3;1);B(1;3)
=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)=\left(-1;1\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (1;1)
Phương trình đường thẳng AB là:
1(x-3)+1(y-1)=0
=>x-3+y-1=0
=>x+y-4=0
A(3;1); C(3;5)
\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-4;0)
Phương trình đường thẳng AC là:
-4(x-3)+0(y-1)=0
=>-4(x-3)=0
=>x-3=0
=>x=3
B(1;3); C(3;5)
\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-1;1)
Phương trình BC là:
-1(x-1)+1(y-3)=0
=>-x+1+y-3=0
=>-x+y-2=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\)
=>đường cao AH sẽ đi qua A(3;1) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình AH là:
2(x-3)+2(y-1)=0
=>x-3+y-1=0
=>x+y-4=0
B(1;3); M(3;3)
\(\overrightarrow{BM}=\left(3-1;3-3\right)=\left(2;0\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (0;-2)
Phương trình BM là:
0(x-01)+(-2)(y-3)=0
=>-2(y-3)=0
=>y-3=0
=>y=3
e: A(3;1) là trung điểm của NM
=>\(x_{N}+x_{M}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{M}=2\cdot1=2\)
B(1;3) là trung điểm của MP
=>\(x_{M}+x_{P}=2\cdot1=2;y_{M}+y_{P}=2\cdot3=6\)
C(3;5) là trung điểm của NP
=>\(x_{N}+x_{P}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{P}=2\cdot5=10\)
\(\left(x_{N}+x_{M}\right)-\left(x_{M}+x_{P}\right)=6-2=4\)
=>\(x_{N}-x_{P}=4\)
mà \(x_{N}+x_{P}=6\)
nên \(x_{N}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5;x_{P}=6-5=1\)
\(x_{M}=2-x_{P}=2-1=1\)
\(\left(y_{N}+y_{M}\right)-\left(y_{M}+y_{P}\right)=2-6\)
=>\(y_{N}-y_{P}=-4\)
mà \(y_{N}+y_{P}=10\)
nên \(y_{N}=\frac{-4+10}{2}=\frac62=3;y_{P}=10-3=7\)
\(y_{M}+y_{P}=6\)
=>\(y_{M}=6-7=-1\)
M(1;-1); N(5;3); P(1;7)
M(1;-1); P(1;7)
=>\(\overrightarrow{MP}=\left(1-1;7+1\right)=\left(0;8\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-8;0)
Phương trình MN là:
-8(x-1)+0(y+1)=0
=>-8(x-1)=0
=>x-1=0
=>x=1
N(5;3); P(1;7)
\(\overrightarrow{NP}=\left(1-5;7-3\right)=\left(-4;4\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (1;1)
Phương trình NP là:
1(x-5)+1(y-3)=0
=>x-5+y-3=0
=>x+y-8=0
...
a: vecto AB=(1;1)
vecto AC=(2;6)
vecto BC=(1;5)
b: \(AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)
\(AC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\)
\(BC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\)
=>\(C=\sqrt{2}+2\sqrt{10}+\sqrt{26}\)
c: Tọa độ trung điểm của AB là:
x=(1+2)/2=1,5 và y=(-1+0)/2=-0,5
Tọa độ trung điểm của AC là;
x=(1+3)/2=2 và y=(-1+5)/2=4/2=2
Tọa độ trung điểm của BC là:
x=(2+3)/2=2,5 và y=(0+5)/2=2,5
d: ABCD là hình bình hành
=>vecto AB=vecto DC
=>3-x=1 và 5-y=1
=>x=2 và y=4
Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)
\( \Rightarrow \sin A = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)
Do \({0^o} < \widehat A < {180^o}\) nên \(\sin A > 0\) hay \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{{{{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} = \frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}}\end{array}\)
Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:
\(S = \frac{1}{2}bc.\frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}} = \frac{1}{4}.\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} \)
Chú ý:
Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2}} \right)} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} \end{array}\)
Đến đây, đặt \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\), là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}b + c + a = 2p\\b + c - a = b + c + a - 2a = 2\left( {p - a} \right)\\a - b + c = b + c + a - 2b = 2\left( {p - b} \right)\\a + b - c = b + c + a - 2c = 2\left( {p - c} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{4}\sqrt {2\left( {p - a} \right).2p.2\left( {p - b} \right).2\left( {p - c} \right)} \\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \end{array}\)
(công thức Heron)