a. \(2^{100}=\left(2^2\right)^{50}=4^{50}<5^{50}\)

Vậy \(2^{100}<5^{50}.\)

b. \(4^{30}=\left(2^2\right)^{30}=2^{60}\)(1)

\(8^{20}=\left(2^3\right)^{20}=2^{60}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(4^{30}=8^{20}.\)

 ta có :

\(25^{1008}=\left(5^2\right)^{1008}=5^{2.1008}=5^{2016}\)

mà \(5^{2017}>5^{2016}\)

\(\Rightarrow\)\(5^{2017}>\left(5^2\right)^{1008}\)

\(\Rightarrow\)\(5^{2017}>25^{1008}\)

có \(5^{2017}=\left(5^2\right)^{1008}\times5\)\(=25^{1008}\times5\)

mà \(=25^{1008}\times5\)> \(25^{1008}\)

nên \(5^{2017}>25^{1008}\)

a) 2¹⁰⁰ = ( 2²⁰ ) ⁵ = 1 048 576⁵

3⁶⁵ = ( 3¹³ ) ⁵ = 1 594 323⁵

Ta có : 1 048 576⁵ < 1 594 323⁵

=> 2¹⁰⁰ < 3⁶⁵

\(A=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+\frac{98}{2^{98}}+\frac{99}{2^{99}}+\frac{100}{2^{100}}\)

\(2A=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{99}{2^{98}}+\frac{100}{2^{99}}\)

\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\) (lấy 2A - A = A)

Đặt \(B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{98}}+\frac{1}{2^{99}}\)

\(2B=2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{97}}+\frac{1}{2^{98}}\)

\(B=2B-B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

Do đó: \(A=2-\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}< 2\)

a) 54⁴ giữ nguyên

21¹² = ( 21³ )⁴ = 9261⁴

vì 54 < 9261 nên 54⁴ < 21¹²

Ý a làm như bạn Huy Hoàng indonaca là đúng.

b) Ta có:

\(1+2+...+100=5050=5^2.202\)

\(5^8=5^2.15625\)

Vì  \(202< 15625\) => \(1+2+...+100< 5^8\)

Giải :

a, Ta có :

2¹⁵⁰ = (2³)⁵⁰ = 8⁵⁰     (1)

Lại có :

3¹⁰⁰ = (3²)⁵⁰ = 9⁵⁰      (2)

Từ (1) và (2) => 2¹⁵⁰ < 3¹⁰⁰ (vì 8⁵⁰ < 9⁵⁰ )

b, Ta có :

2²⁴ = (2³)⁸ = 8⁸  (1)

Lại có :

3¹⁶ = (3²)⁸ = 9⁸  (2)

Từ (1) và (2) => 2²⁴ < 3¹⁶  (vì 8⁸ < 9⁸ )

2¹⁵⁰=(2³)⁵⁰=8^​50 < 9⁵⁰=(3²)⁵⁰=3¹⁰⁰

2²⁴=(2^​3)⁸=8⁸ < 9^​8 =(3^​2)⁸=3^​16