3n(2 - 3n) + 42 + 3n \(\ge\)0

\(\Leftrightarrow\) - 9n² + 9n + 42 \(\ge\)0

\(\Leftrightarrow-1,71\le n\le2,72\)

Vì n tự nhiên nên ta có

\(\Rightarrow0\le n\le2\)

Vậy n = 0,1,2

1.

Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)

\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản

\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản

2.

Giả thiết tương đương:

\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)

Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)

\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)

Giả sử E là số tự nhiên

Biến đổi E ta có :

\(E=\frac{3n^2}{2n^2+n-1}+\frac{1}{n+1}=\frac{3n^2}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}+\frac{2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n^2+2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(3n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n-1}{2n-1}\)

Do E là số tự nhiên \(\Rightarrow\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow\left[2\left(3n-1\right)-3\left(2n-1\right)\right]⋮2n-1\)

\(\Leftrightarrow\left(6n-2-6n+3\right)⋮\left(2n-1\right)\Leftrightarrow1⋮\left(2n-1\right)\)

\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Xét \(2n-1=1\Rightarrow n=1\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)

Xét \(2n-1=-1\Rightarrow n=0\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)

Vậy ko có số tự nhiên n > 1 nào để \(\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\) hay 3n - 1 ko chia hết cho 2n - 1

=> điều giả sử là sai hay E ko thể là số tự nhiên (đpcm)

Do p là số nguyên tố > 3 nên có thể có 2 dạng là 3k+1 và 3k+2

TH1: p = 3k+1

\(a=3\left(3k+1\right)+2+2020\cdot\left(3k+1\right)^2\)

\(\equiv2+1\cdot\left(1\right)^2\equiv0\)(Mod 3)

-> a chia hết cho 3

TH2: p = 3k+2

\(a=3\left(3k+2\right)+2+2020\cdot\left(3k+2\right)^2\)

\(\equiv2+1\cdot2^2\equiv0\)(Mod 3)

-> a chia hết cho 3

Vậy a là hợp số

bn oi nhầm rồi

\(a=3n+2+2020p^2\) chứ ko phải \(a=3p+2+2020p^2\)

mình cũng không biết

Ta có \(n^4-3n^2+1=\left(n^4-2n^2+1\right)-n^2\)

                                        \(=\left(n^2-1\right)^2-n^2\)

                                        =(n^2-n-1)(n^2+n-1)

   Để B là số nguyên tố thì 

  n^2-n-1=1,n^2+n-1 là số nguyên tố 

=>n=2 thỏa mãn

Vậy n=2

TH1: m<0 hoặc n<0

Nếu m<0

=>\(2^{m}\) ∉Z

=>\(2^{m}\cdot5\) ∉Z

=>\(2^{m}\cdot5+1\) ∉Z

mà \(3^{n}\) sẽ là số nguyên(nếu n>=0) hoặc là phân số(nếu n<0)

nên Loại

Nếu n<0

=>\(3^{n}<1\)

mà nếu m>=0 thì \(1+5\cdot2^{m}\ge1+5>1\)

nên Loại

Do đó: m>=0; n>=0

TH2: m=0

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^0=1+5=6\)

=>\(3^{n}=6\)

=>n∈∅

TH3: m=1

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^1=1+10=11\)

=>\(3^{n}=11\)

=>n∈∅

TH4: m=2

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^2=1+20=21\)

=>\(3^{n}=21\)

=>n∈∅

TH5: m=3

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^3=1+40=41\)

=>\(3^{n}=41\)

=>n∈∅

TH6: m=4

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^4=1+80=81\)

=>\(3^{n}=81\)

=>n=4(nhận)

TH7: m>=5

=>\(1+5\cdot2^{m}>1+5\cdot32=161\)

=>n>=5

m>=5

=>\(2^{m}\) ⋮8

=>\(5\cdot2^{m}\) ⋮8

=>\(5\cdot2^{m}+1\) chia 8 dư 1

=>\(3^{n}\) chia 8 dư 1

mà \(3^{n}\) chia 8 dư 1 khi n là số chẵn

nên đặt n=2k(với k>=3)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\(5 \cdot 2^m = 3^{2k} - 1 = (3^k - 1)(3^k + 1)\)

mà \(ƯCLN\left(3^{k}-1;3^{k}+1\right)=2\)

nên ước chỉ chứa các thừa số nguyên tố là 2 và 5

mà \(3^{k}-1;3^{k}+1\) không thể cùng chia hết cho 5

nên ta sẽ có 2 trường hợp

TH1: 5 là ước của \(3^{k}-1\)

=>\(3^{k}-1=5\cdot2^{a};3^{k}+1=2^{b}\) , với a+b=m

\(3^k + 1 = 2^b\)

k>=3

=>3^k+1 chia 8 dư 4(nếu k lẻ) và \(3^{k}+1\) chia 8 dư 2(k chẵn)

=>\(3^{k}+1\) không thể là lũy thừa của 2 lớn hơn 4

=>Loại

TH2: 5 là ước của \(3^{k}+1\)

=>\(3^{k}-1=2^{a};3^{k}+1=5\cdot2^{b}\) , với a+b=m

\(3^{k}-1=2^{a}\)

Nếu k=1 thì \(2^{a}=3^1-1=3-1=2\)

=>a=1

=>\(3^{k}-1=2^1=2\)

=>\(3^{k}+1=4\)

=>\(5\cdot2^{b}=4\)

=>\(2^{b}=\frac45\)

=>b∈∅

Nếu k=2 thì \(3^2-1=8=2^3\)

=>a=3

k=2

=>n=2k=4

\(3^{k}+1=5\cdot2^{b}\)

=>\(5\cdot2^{b}=3^2+1=10\)

=>\(2^{b}=2\)

=>b=1

a+b=4

=>m=a+b=4

Nếu k>=3 thì \(3^{k}-1=2^{a}\)

=>\(3^{k}\) chia 4 dư 1

=>k chẵn

Đặt k=2p(Với p>=2)

Ta sẽ có: \(3^{2p}-1=(3^{p}-1)(3^{p}+1)=2^{a}\)

=>\(3^{p}-1;3^{p}+1\) đều phải là lũy thừa của 2

=>\(3^{p}-1=2;3^{p}+1=4\)

=>\(3^{p}=3\)

=>p=1

=>k=2(loại vì k>=3)

Do đó: Với m>=5 thì không tồn tại thêm nghiệm n...

toán lớp 9 chưa học

Mình dung Cô-si cũng cm được nhưng ra a và b không thỏa mãn đk thuộc N* nên ko bt có đúng ko :))