31 chữ số

30 chứ

$2^{100}=(2^{10}{)}^{10}={1024}^{10}>{1000}^{10}={10}^{30}$

$2^{100}=2^{31}{.2}^6{.2}^{63}=2^{31}.64{.512}^7<2^{31}.125{.625}^7=2^{31}{.5}^3.(5^4{)}^7=2^{31}{.5}^{31}={10}^{31}$

A*B = 333...333 * 666...666

=333...333 * 3 * 222...222

=999...999 * 222...222

=(1000...000 - 1) * 222...222

=222...222000...000 - 222...222

=222...219777...78

a)

Đây là cấp số cộng có:

$u_1=3,\ d=4$.

Số hạng tổng quát là:

$u_n=3+(n-1)\cdot4$

$=4n-1$.

Ba số hạng tiếp theo là:

$19;\ 23;\ 27$.

Vậy: $u_n=4n-1$.

b)

Số hạng thứ $100$ là:

$u_{100}=4\cdot100-1=399$.

Các số có $1$ chữ số là: $3;\ 7$

Có $2$ số, dùng:

$2\cdot1=2$ chữ số.

Các số có $2$ chữ số là:

$11;\ 15;\ \ldots;\ 99$.

Số số hạng là:

$\dfrac{99-11}{4}+1=23$.

Dùng: $23\cdot2=46$ chữ số.

Các số có $3$ chữ số là:

$103;\ 107;\ \ldots;\ 399$.

Số số hạng là:

$100-2-23=75$.

Dùng: $75\cdot3=225$ chữ số.

Vậy tổng số chữ số cần dùng là:

$2+46+225=273$.

c)

Với $2009$: $4n-1=2009$

$\Leftrightarrow 4n=2010$

$\Rightarrow n=\dfrac{2010}{4}\notin\mathbb{N}$.

Vậy: $2009$không thuộc dãy.

Với $2011$: $4n-1=2011$

$\Leftrightarrow 4n=2012$

$\Rightarrow n=503\in\mathbb{N}$.

Vậy: $2011$ thuộc dãy, là số hạng thứ 503

Với $2012$: $4n-1=2012$

$\Leftrightarrow 4n=2013$

$\Rightarrow n=\dfrac{2013}{4}\notin\mathbb{N}$.

Vậy: $2012$ không thuộc dãy.

c/ Ta có: \(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}>1000^{10}=10^{30}\)   (1)

Lại có: \(2^{100}=2^{31}\cdot2^6\cdot2^{63}=2^{31}\cdot64\cdot512^7< 2^{31}\cdot125\cdot625^7=2^{31}\cdot5^{31}=10^{31}\)  (2)

(1)(2) suy ra: \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\)

Vậy 2^100 có 31 c/s

Theo như bạn kia làm thì \(2^{100}\)có 30 chữ số chứ ko phải 31

a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5

=> n - 3 ∈ {-1; 1; -5; 5} => n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}

Đối chiếu đ/k ta được n ∈ {- 2; 2; 4; 8}

b. Với x = 2, ta có: 2² + 117 = y² → y² = 121 → y = 11 (là số nguyên tố)

* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ y² = x² + 117 là số chẵn

=> y là số chẵn

kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)

Vậy x = 2; y = 11.

c. Ta có: 10³⁰= 1000¹⁰ và 2¹⁰⁰ =1024¹⁰. Suy ra: 10³⁰ < 2¹⁰⁰ (1)

Lại có: 2¹⁰⁰= 2³¹.2⁶³.2⁶ = 2³¹.512⁷.64 và 10³¹=2³¹.5²⁸.5³=2³¹.625⁷.125

Nên: 2¹⁰⁰< 10³¹ (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.