Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3\le a+b+c\)
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)
=> đpcm
áp dụng bất đẳng thức buinhia
\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\le a^2+b^2+c^2\)
Ta có : \(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)
Tương tự : \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\) và \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế ta được : \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1
Có: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)( bạn tự c/m nhé )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1 ( bạn tự giải rõ ra nhé )
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\)
Cộng vế theo vế có ngay điều phải chứng minh
Đou, ấn nhầm nút tick @@
-.- Em thặk thú dzị :)) May mà chị không biết làm nên không nghĩ không lại tốn mấy nơ-ron thần kinh roài =))
Thời này phải tiết kiệm chất xám không dễ bị lừa lắm :))
Đợi lâu quá nên em giải nốt nha:v
Nhớ là đề này em đã sửa lại đk \(2\ge a>b>c\ge0\) bên dưới rồi nhé!
Ta có: \(LHS\left(VT\right)=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(3-c\right)+3c\)
\(\le2\left(a-b\right)+3b+3c\left(\text{do }c\ge0\right)=2a+b+3c=RHS\left(VP\right)\)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0.
Tag ko dính gì cả :(
bđt\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2a-b-3c\le0\)
VT\(\le3a^2-6a\le0\)
mà \(\left(3a^2-6a^2\right)_{max}=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=2\end{matrix}\right.\)
Vậy bđt đúng. Dấu = xra khi a=2 vì ta thấy a khác b khác c và a lớn nhất.
Thay a=2 vào bđt ban đầu:
\(4+b^2+c^2\le4+b+3c\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-b-3c\le0\)
Bằng lập luận tương tự ta đc bđt đúng và dấu = xra khi b=1;c=0.
Vậy ta có đpcm với dấu = xra khi a=2;b=1;c=0.
#Walker
HOw to có dòng thứ 2? Mà sao lại được thay a = 2 vào nhỉ?
Mà theo em bài này ngược dấu cmnr
tth Vì \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\) nên VT \(\le a^2+b^2+c^2-2a-a-3a\)
Đoạn này a làm chưa rõ nên thấy vậy thôi chứ ko ngc nhé.
Vì a\(\in\left[0;2\right]\) nên dấu = xra trong khoảng đó mà theo thực tế ta thấy a=2.
\(VT\le4+b^2+c^2\le2a+b+3c\)
\(=3+a+2c=3+3-b+c=6-b+c\)
\(4+b^2+c^2\le6-b+c\)
\(\Leftrightarrow b^2+b+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\le b^2+b+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{9}{4}\)
Ta thấy bđt đúng và dấu = xra khi b=1
Tương tự có c=0.
Giải thích dòng thứ 2:
\(VT=\left(a-1\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{3}{2}\right)^2\le\left(a-1\right)^2+\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(a-\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{7}{2}\)
Với a thuộc [0;2] ta thấy bđt đúng và dấu = xra khi a=2.
Từ đó \(VT\le4+b^2+c^2\)
Phần sau đc giải thích ở phần bình luận.
#Walker
Em làm đúng chưa ạ Akai HarumaNguyễn Việt Lâm
Phạm Hoàng Lê Nguyên vẫn sai:
do \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\) do đó:
\(a^2+b^2+c^2-2a-b-3c\le a^2+a^2+a^2-2c-c-3c\)
\(=3a^2-6c\) (-6c chứ không phải -6a đâu nhé)
sai bét:V
Nguyễn Thị Ngọc Thơ hèn gì em thấy sai sai, "tại sao chị Thơ lại tk nhỉ?":v
tthNguyễn Thị Ngọc Thơ Wtf, sao sai TvT
Phạm Hoàng Lê Nguyên chửi tục nha:))
tth what think face!( khuôn mặt suy nghĩ,đăm chiêu) nghĩ gì thế :v
Phạm Hoàng Lê Nguyên thế à?tại thường tụi bạn em nó bảo "WTF" là một từ tầm bậy:v
tth Vậy à, a thấy mùi xạo xạo...
Phạm Hoàng Lê Nguyên xạo cái gì@@
tth Thấy hơi nghi
Chưa ai nghĩ ra ak? Để cháu tag lại (Sợ tag không dính:V)
Lightning FarronTrần Thanh PhươngNguyễn Thị Diễm QuỳnhsvtkvtmDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNGHISINOMA KINIMADOAkai HarumaNguyễn Việt Lâm
toán chế ớ :v có sợ sai đề sai điếc gì ko :) chứ làm đề sai mệt lắm, 12 này tui thi HSG ròi :>
tth :)
Trần Thanh Phương ko sai đề đâu, em chứng minh được:)
Trần Thanh Phương nếu anh bảo sai đề thì anh phải tìm phản ví dụ, chứ ko ai mà tin:)
Trần Thanh Phương 12 tháng 9 á? sớm thế?
tth c/m được ròi sao còn hỏi @@
Trần Thanh Phương đây là toán đố mà:)
Từ giả thiết suy ra :
+) \(\left(a-2\right)\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab-a^2-2b+2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a+b\ge a^2-ab+3b\)
+) \(\left(c-b\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow bc-c-b^2+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow3c\ge b^2-bc-b+4c\ge b^2-bc-b\)
Cộng vế ta có:
\(VP\ge a^2-ab+3b+b^2-bc-b\)
\(=a^2+b^2+2b-ab-bc\)
Cần chứng minh: \(2b-ab-bc\ge c^2\)
\(\Leftrightarrow b\left(2-a\right)-bc\ge c^2\)( luôn đúng theo giả thiết )
BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1;c=0\).
Trần Thanh Phương dấu + thứ 2 có vấn đề, tại sao:
\(\left(c-b\right)\left(b-1\right)\ge0\) khi ta chưa rõ được dấu của b - 1?
Với "\(b\left(2-a\right)-bc\ge c^2\)(đúng với giả thiết)"chỗ này hơi lạ đấy:)
\(a+b+c=3\Rightarrow c\le1\Rightarrow c^2-c=c\left(c-1\right)\le0\Rightarrow c^2\le c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le2a+b+3c\Leftrightarrow a^2+b^2\le2a+b+2c=9-a-2b-c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-c-a\ge b^2+2b+a^2\Leftrightarrow c^2-c+2ab+2bc+2ca-a\ge2b;c^2-c\ge\frac{-1}{4}\Rightarrow bdt\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\ge2b+\frac{9}{4}=2b+\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}=2b+\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\ge a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\frac{27}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)