p;q là các số nguyên tố lớn hơn5

=>p,q là các số lẻ và p,q đều không chia hết cho 3

p là số lẻ nên p=2a+1

\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)

=(p-1)(p+1)\(\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(2a+1-1\right)\left(2a+1+1\right)\left\lbrack\left(2a+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=2a\left(2a+2\right)\left(4a^2+4a+1+1\right)=2a\cdot2\cdot\left(a+1\right)\cdot2\cdot\left(2a^2+2a+1\right)\)

\(=8a\left(a+1\right)\left(2a^2+2a+1\right)\) ⋮8

p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

TH1: p=3k+1

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(2)

TH2: p=3k+2

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(1)

Từ (1),(2) suy ra \(p^4-1\) ⋮3

p là số nguyên tố lớn hơn 5

=>p không chia hết cho 5

=>p∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}

TH1: p=5k+1

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(3)

TH2: p=5k+2

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)

\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(4)

TH3: p=5k+3

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)

\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(5)

TH4: p=5k+4

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)

\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(6)

Từ (3),(4),(5),(6) suy ra \(p^4-1\) ⋮5

mà \(p^4-1\) ⋮3 và \(p^4-1\) ⋮8; \(p^4-1\) ⋮2

và ƯCLN(3;5;8;2)=1

nên \(p^4-1\) ⋮3*5*8*2

=>\(p^4-1\) ⋮240(7)

q là số lẻ nên q=2b+1

\(q^4-1=\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)\)

=(q-1)(q+1)\(\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(2b+1-1\right)\left(2b+1+1\right)\left\lbrack\left(2b+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=2b\left(2b+2\right)\left(4b^2+4b+1+1\right)=2b\cdot2\cdot\left(b+1\right)\cdot2\cdot\left(2b^2+2b+1\right)\)

\(=8b\left(b+1\right)\left(2b^2+2b+1\right)\) ⋮8

q không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

TH1: q=3k+1

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(8)

TH2: q=3k+2

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(9)

Từ (8),(9) suy ra \(q^4-1\) ⋮3

q là số nguyên tố lớn hơn 5

=>q không chia hết cho 5

=>q∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}

TH1: q=5k+1

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(10)

TH2: q=5k+2

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)

\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(11)

TH3: q=5k+3

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)

\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(12)

TH4: q=5k+4

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)

\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(13)

Từ (10),(11),(12),(13) suy ra \(q^4-1\) ⋮5

mà \(q^4-1\) ⋮3 và \(q^4-1\) ⋮8; \(q^4-1\) ⋮2

và ƯCLN(3;5;8;2)=1

nên \(q^4-1\) ⋮3*5*8*2

=>\(q^4-1\) ⋮240(14)

Từ (7),(14) suy ra \(p^4-1-\left(q^4-1\right)\) ⋮240

=>\(p^4-q^4\) ⋮240

p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240

Tick nhé 

toàn toán khó 

vô chtt đi 

p là số nguyên tố >5=>p lẻ ,p kochia hết cho 3=>p^4 chia 3 dư 1=>p-1 chia hết cho 3

p là nt   5=>p lẻ p^4-1 chia hết cho 16

p là NT 5=>p có số tận cùng là 1,3,7,9=>p^4 coa chữ số tận cùng là 1=>p^4 chia hết cho 10

p chia hết cho 3 ;10;16=> chia hết cho 240

click chữ xanh nha:Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

Đây thì chi tiết hơn:Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

p nguyên tố>5 ==>p lẻ, p không chia hết cho 3 => p^4 chia 3 dư 1 => p-1 chia hết cho 3
p nguyên tố .5 => p lẻ => p^4-1 chia hết cho 16
p nguyên tố .5 => p có tận cùng 1 3 7 9 => p^4 có tận cùng 1 => p^4-1 chia hết cho 10
p chia hết cho 3,10,16 => chia hết cho 240(240 là bội chung nhỏ nhất của 3,10,16)

Mình sắp ngủ rồi nên giúp bạn câu này, kết bạn nha!

Ta có: p4-q4-(p4-1)-(q4-1); 240 - 8.2.3.5. Ta cần chứng minh p4-1 chia hết cho 240

- Do p>5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p4-1-(p-1)(p+1)(p2+1)

=> (p-1) và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1)(p+1) chia hết cho 8

+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ => p2+1 chia hết cho 2

p > 5 nên p có dạng

+ p-3k+1 => p-1-3k+1-1-3k chia hết cho 3  =>p4 - 1 chia hết cho 3

..............................

Tương tự ta cũng có q4 - 1 chia hết cho 240 . 

Vậy (p4-1)-(q4-1) = p4 - q4 cho 240