Câu 1 : 

a) 

\(P = a + b - ab = 2 + \sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})(2-\sqrt{3})\\ =4 - (2^2 - (\sqrt{3})^2) = 4 - (4 - 3) = 3\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\3x-6y=-9\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y-\left(-6y\right)=5-\left(-9\right)\\x=\dfrac{5-y}{3}\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=\dfrac{5-2}{3}=1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x ; y) = (1 ; 2)

Câu 1:

a)

\(P=a+b-ab\\ =2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\\ =4-\left(4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\right)\\ =4-1=3\)

Vậy \(P=3\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+2y=10\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\2y=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy pht có nghiệm là \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Câu 2:

a) Thay $m=6$ vào pt trên ta được:

\(x^2-5x+6=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x-3x+6=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

b) 

\(x^2-5x+m=0\\ a=1;b=-5;c=m\\ \Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4.1.m=25-4m\\ \Delta\ge0\Leftrightarrow25-4m\ge0\Leftrightarrow25\ge4m\Leftrightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-5\right)}{1}=5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m}{1}=m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-y\right)^2}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^2-2xy+y^2+2xy-2xy}=3\\\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2-4xy}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{5^2-4m}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{25-4m}=3\\ \Leftrightarrow25-4m=9\\ \Leftrightarrow4m=16\\ \Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)

Vậy \(m=4\) thì pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn đề bài

Câu 2 : 

a) Với x > 0 , x ≠ 1, Ta có :

\(P = \Big(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\Big) : \dfrac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}\\ =\Big(\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} \Big) : \dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)^2}\\ =\dfrac{(\sqrt{x}+1)+\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} . \dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}}\)

\(= \dfrac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) } \dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}}\\ = \dfrac{x-1}{x}\)

b) 

\(P >\dfrac{1}{2 } \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x} > \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x}-\dfrac{1}{2}>0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2x-2-x}{2x}>0\\ \Leftrightarrow \dfrac{x-2}{2x}>0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\2x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2< 0\\2x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< 0\end{matrix}\right.\)

Vậy, với x > 2 hoặc x < 0 thì P > \(\dfrac{1}{2}\)

Câu 5:

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)  (Tích chéo)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

  Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

   Vậy \(P_{Min}=\sqrt{2}\) khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Câu 5:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương a, b 

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}\ge\dfrac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ a+b\le2\sqrt{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\ge\dfrac{4}{2\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\ge\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{min}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

Câu 4.

a) Đây là hiển nhiên vì \(\angle FIB+\angle BEF=90^o+90^o=180^o\)

b) Ta có $\angle ACB=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AC^2=AI\cdot AB.$ Dễ dàng chứng minh \(\Delta IAF\sim \Delta EAB\Rightarrow\dfrac{IA}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AE\cdot AF=AI\cdot AB.\)

Từ đây thu được điều phải chứng minh.

c) Có $\angle ACF=\angle  ADC=\angle AEC$ nên AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp CEF.

Mặt khác ta có $\angle ACB=90^o$ (câu b) tức $AC\bot CB$

Từ đây BC chứa tâm đường tròn ngoại tiếp CEF hay tâm đường ngoại tiếp CEF luôn di chuyển trên BC cố định.

Hình vẽ.